Не теоретико-множественные модели

[EminentVictorians]

Выделю в отдельную тему вопрос про теоретико-множественные модели.

dgwuqtj в сообщении #1642808 писал(а):

Аффинная схема над коммутативным кольцом $K$ — это просто коммутативная $K$-алгебра $A$ с единицей, но морфизмы перевёрнуты, $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Sch}_K}(A, B) = \mathrm{Hom}_{K\text{-}\mathrm{Alg}}(B, A)$.

Морфизм в K-Alg (как и в любой другой категории) - это множество, т.е. упорядоченная тройка вида (домен, что-то полезное, кодомен). Поэтому морфизмы в $Sch_K$ - это практически точно такие же множества, просто в представляющих их упорядоченных тройках первая и последняя компоненты поменяны местами. Но множества ведь.

dgwuqtj в сообщении #1642808 писал(а):

но это не конкретная категория (нет вполне строго непрерывного функтора в категорию множеств, по крайней мере, очевидного).

Конкретность категории - это более сильное свойство. Категория Rel малых множеств и бинарных отношений между ними - это тоже не конкретная категория, но в ней объекты и стрелки - множества.

dgwuqtj в сообщении #1642808 писал(а):

И как вы на теоретико-множественном языке хотя бы определите коммутатор $A \to A \otimes_K A$, если $A$ — групповой объект в $\mathrm{Sch}_K$?

Сложно ответить, потому что я самой темой плохо владею. Но если общими словами, то я не очень понимаю в чем проблема. Коммутатор - это просто стрелка, значит множество.

[dgwuqtj]

Так тут всё множества. Проблема в том, что хочется пользоваться обычными теоретико-групповыми свойствами применительно к групповым объектам. Это какие-то равенства композиций морфизмов в категории. Вот чтобы не доказывать их каждый раз заново, и пытаются либо применить лемму Йонеды, либо абстрактные соображения про неклассические логики. Лично мне проще с леммой Йонеды, но для других классов категорий и доказываемых утверждений (например, если нужны фактор-объекты по отношениям эквивалентности) её тоже надо обобщать.

Попробуйте сами доказать по определению такой факт: если $\mathcal C$ произвольная декартова категория и $M$ моноидальный объект с умножением $m \colon M \times M \to M$, то существует единственный морфизм $e \colon 1 \to M$ такой, что $m \circ (1 \times \mathrm{id}) \circ \lambda^{-1} = \mathrm{id} = m \circ (\mathrm{id} \times 1) \circ \rho^{-1} \colon M \to M$. То есть формально $m \circ (m \times \mathrm{id}) = m \circ (\mathrm{id} \times m) \circ \alpha \colon (M \times M) \times M \to M$ и какой-то такой $e$ существует, а надо доказать, что других нет. Тут $\alpha \colon (M \times M) \times M \to M \times (M \times M)$, $\lambda \colon 1 \times M \to M$ и $\rho \colon M \times 1 \to M$ — естественные изоморфизмы.

[dgwuqtj]

dgwuqtj в сообщении #1642818 писал(а):

морфизм $e \colon 1 \to M$ такой, что $m \circ (1 \times \mathrm{id}) \circ \lambda^{-1} = \mathrm{id} = m \circ (\mathrm{id} \times 1) \circ \rho^{-1} \colon M \to M$

Опечатка, надо $m \circ (e \times \mathrm{id}) \circ \lambda^{-1} = \mathrm{id} = m \circ (\mathrm{id} \times e) \circ \rho^{-1} \colon M \to M$. Через 1 же обозначен конечный объект.

[EminentVictorians]

dgwuqtj, у меня не получается. Вроде простое утверждение, но не поддается. В доказательстве нужно знание о том, что $1$ - терминальный объект?

[dgwuqtj]

EminentVictorians в сообщении #1643002 писал(а):

В доказательстве нужно знание о том, что $1$ - терминальный объект?

Там явно фигурируют изоморфизмы $\lambda$ и $\rho$, так что по идее как-то да. Если доказывать это по-нормальному, а не диаграммным поиском, то делают так (считая, что $\mathcal C$ и категория множеств $\mathbf{Set}$ малые):
Возьмём вложение Йонеды $\mathbf y \colon \mathcal C \to \widehat{\mathcal C} = \mathbf{Cat}(\mathcal C, \mathbf{Set}) \subseteq \mathbf{Set}^{\mathrm{Ob}(\mathcal C)}$. Так как оно сохраняет произведения, то $\mathbf y(M)$ будет моноидом относительно операции $\mathbf y(m) \colon \mathbf y(M)^2 \to \mathbf y(M)$ (опуская изоморфизм $\mathbf y(M^2) \cong \mathbf y(M)^2$). После такого вложения $\mathbf y(e)$ окажется единицей в $\mathbf y(M)$, и в силу единственности единицы в теоретико-множественных моноидах (всех компонентах $\mathbf y(M)$, то есть во всех $\mathcal C(T, M)$) обязательно $\mathbf y(e)$ единственный, ну и по инъективности $e$ тоже единственный.

А с помощью логики так: если $e, e'$ единицы, то $e = m(e, e') = e'$, где написана цепочка равенств между термами первого порядка. Именно это доказательство можно в принципе развернуть в диаграммный поиск, $e = m \circ (\mathrm{id} \times e') \circ \rho_M^{-1} \circ e = m \circ (e \times e') \circ \rho_1^{-1} = m \circ (e \times e') \circ \lambda_1^{-1} = m \circ (e \times \mathrm{id}) \circ \lambda_M^{-1} \circ e' = e' \colon 1 \to M$. Тут используется естественность изоморфизмов $\lambda, \rho$ и равенство $\lambda_1 = \rho_1 \colon 1 \times 1 \to 1$. С логикой, конечно, надо отдельно доказывать, что вывод в соответствующей теории можно перевести в категорное вычисление. Но для всяких там элементарных топосов обычной леммы Йонеды тоже недостаточно, а интуиционистская логика первого порядка работает.

-- 16.06.2024, 21:13 --

Кстати, утверждение верно и для моноидальных категорий, и логическое доказательство (в ещё более слабой логике, чем хорновские формулы) тоже работает. А лемма Йонеды — нет.

[EminentVictorians]

dgwuqtj в сообщении #1643007 писал(а):

Там явно фигурируют изоморфизмы $\lambda$ и $\rho$, так что по идее как-то да.

Тогда у меня даже шансов не было. Я с этого и начал, что стал доказывать терминальность $1$. Для этого мне как раз и нужно было равенство проекций из $1 \times 1$ друг с другом и что они обе равны $\lambda_1$ и $\rho_1$. А я уже на этом месте застрял.

Честно говоря, думал, что получится обойтись элементарными методами. Вложение Йонеды это еще ладно, но то что придется использовать машинерию с сохранением пределов - это я удивлен.

К слову, я помню как я доказывал смежный факт про то, что категория с терминальным объектом и зафиксированным функтором бинарного произведения моноидальна. Там такой кошмар... Надо ввести все эти $\alpha, \lambda, \rho$, доказать, что они естественные, потом что они изоморфизмы. Потом доказать, что выполняется пятиугольная диаграмма и вторая диаграмма с $\alpha_{a, 1, b}$. У меня, кажется, листов 20 на это все ушло. Я прямо мечтал, чтобы была какая-нибудь техника, которая позволяла бы доказывать коммутативность диаграмм как-нибудь графически, а не проверять всю эту дичь по определению.

dgwuqtj в сообщении #1643007 писал(а):

а не диаграммным поиском,

Если не сложно, можете хотя бы на уровне идеи рассказать, что это такое. Diagram chasing - это оно?

[dgwuqtj]

EminentVictorians в сообщении #1643018 писал(а):

Diagram chasing - это оно?

Да, я имел просто доказательство по определению, в виде цепочки равенств между композициями морфизмов.

EminentVictorians в сообщении #1643018 писал(а):

придется использовать машинерию с сохранением пределов - это я удивлен.

Ну а как без этого? Смысл леммы Йонеды в данном случае в том, что $\mathbf y$ моноидален (сохраняет произведения и единицу с точностью до изоморфизма).

[vpb]

Давненько не брал я в руки шашек (с).

Будем использовать систему обозначений, в основном отличную от Маклейна и dgwuqtj.

Пусть ${\mathcal C}$ --- категория с конечными произведениями ("декартова"). Для $A,B\in\mathrm{Ob}\,{\mathcal C}$ пусть $A\times B$ --- их каноническое произведение, $\pi_A\colon A\times B\longrightarrow A$ и $\pi_B\colon A\times B\longrightarrow B$ --- проекции (в категорном смысле конечно, а не в теоретико-множественном. Т.е. некоторые элементы из $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(A\times B, A)$ и $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(A\times B, B)$).

Пусть $C$ --- третий объект, и $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(C,A)$, $g\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(C,B)$. В силу определения того, что такое $A\times B$, существует единственное $h\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(C,A\times B)$ такое, что $\pi_A\circ h=f$ и $\pi_B\circ h=g$. Будем обозначать это $h$ через $f\ast g$.

Отметим, что для произвольных $D$ и $p\colon D\longrightarrow C$ композиция $h_1=h\circ p$ такова, что $\pi_A\circ h_1=\pi_A\circ h\circ p=f\circ p$ и $\pi_B\circ h_1=g\circ p$. Значит $h_1=(f\circ p)\ast(g\circ p)$. Короче, получили формулу

$$ (f\ast g)\circ p= (f\circ p)\ast(g\circ p). $$

Пусть, далее, $A,B,C,D$ --- произвольные 4 объекта, $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(A,C)$ и $g\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(B,D)$. Тогда $f\circ\pi_A$ и $g\circ\pi_B$ --- морфизмы из $A\times B$ в $C$ и $D$, соответственно, поэтому можно образовать $h=(f\circ\pi_A)\ast(g\circ\pi_B)$.
По определению, это $h$ и есть $f\times g$:

$$ f\times g:=(f\circ\pi_A)\ast(g\circ\pi_B)\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(A\times B, C\times D).$$

Если $X$ --- какой-то объект, $f_1\colon X\longrightarrow A$ и $g_1\colon X\longrightarrow B$, то $f_1\ast g_1\colon X\longrightarrow A\times B$, и можно рассмотреть композицию $(f\times g)\circ(f_1\ast g_1)\colon X\longrightarrow C\times D$. Несложно доказать, что это есть $(f\circ f_1)\ast(g\circ g_1)$. (В самом деле,

$$\pi_C\circ((f\times g)\circ(f_1\ast g_1))=(\pi_C\circ(f\times g))\circ(f_1\ast g_1)= (f\circ\pi_A)\circ(f_1\ast g_1)=f\circ(\pi_A\circ(f_1\ast g_1))=f\ast f_1\,,$$

и аналогично $\pi_D\circ((f\times g)\circ(f_1\ast g_1))=g\circ g_1$ ). Итак,

$$ (f\times g)\circ(f_1\ast g_1)=(f\circ f_1)\ast (g\circ g_1). $$

[vpb]

Через $T$ обозначим терминальный объект, и для $X\in\mathrm{Ob}\,{\mathcal C}$ пусть $\tau_X\colon X\longrightarrow T$ --- единственный морфизм. Ясно, что $\tau_Y\circ f=\tau_X$ для любого $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$.

Пусть $\pi_X\colon X\times T\longrightarrow X$ --- проекция. Рассмотрим также $\sigma_X=\mathrm{id}_X\ast\tau_X\colon X\longrightarrow X\times T$. Покажем, что это взаимно обратные изоморфизмы. Прежде всего, имеем $\pi_X\circ\sigma_X=\pi_X\circ({\rm id}_X\ast\tau_X)={\rm id}_X$ по определению операции $\ast$. Затем,

$$ \pi_X\circ(\sigma_X\circ\pi_X)=(\pi_X\circ\sigma_X)\circ\pi_X={\rm id}_X\circ\pi_X=\pi_X\,,$$

а также $\pi_T\circ(\sigma_X\circ\pi_X)=\pi_T$, так как $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X\times T,T)$ состоит из одного элемента. Но также $\pi_X\circ\mathrm{id}_{X\times T} =\pi_X$ и $\pi_T\circ\mathrm{id}_{X\times T}=\pi_T$, значит $\sigma_X \circ\pi_X=\mathrm{id}_{X\times T}$, по определению произведения. Короче, $\sigma_X$ и $\pi_X$ --- взаимно обратны.

То есть, $\pi_X$ --- не что иное, как $\rho_X$ в обозначениях Маклейна (точнее, у него $\rho_a$, так как объекты малыми буквами обозначаются), а $\rho_X^{-1} =\sigma_X$. Если же те же рассуждения применить к произведению $T\times X$, а не $X\times T$, получатся $\lambda_X$ и $\lambda_X^{-1}=\sigma'_X=\tau_X\ast\mathrm{id}_X\colon X\longrightarrow T\times X$ соответственно.

-- 21.06.2024, 10:10 --

Перейдем собственно к задаче. Пусть $M$ --- моноидальный объект ("моноид в категории", по Маклейну), и $m\colon M\times M\longrightarrow M$ --- его морфизм умножения. Назовем $e_r\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(T,M)$ правой единицей, если композиция

$$ M\stackrel{\sigma_M}\longrightarrow M\times T \stackrel{\mathrm{id}_M\times e_r}\longrightarrow M\times M \stackrel m\longrightarrow M $$

есть $\mathrm{id}_M$; аналогично $e_l$ --- левая единица, если

$$ M\stackrel{\sigma'_M}\longrightarrow T\times M \stackrel{e_l\times \mathrm{id}_M}\longrightarrow M\times M \stackrel m\longrightarrow M $$

есть $\mathrm{id}_M$. По определению моноида, существует $e$, являющееся двусторонней единицей, т.е. правой и левой одновременно. И нам надо показать, что если $e'$ --- любая двусторонняя единица, то $e'=e$.

Если $p,q\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(T,M)$, то $p\ast q\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(T,M\times M)$. Мы можем взять композицию с $m$, и получить вновь элемент из $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(T,M)$. Т.е. получается операция на $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(T,M)$, которую обозначим, скажем, $\star$:

$$p\star q:=m\circ(p\ast q)$$

.
Покажем, что если $e$ --- левая единица, то всегда $e\star q=q$, для любого $q\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(T,M)$, и аналогично $q\star e=q$ для правой единицы. Отсюда и будет следовать, что двусторонняя единица единственна (ибо $e'=e\star e'=e$).

-- 21.06.2024, 10:35 --

Пририсуем к последней диаграмме $q$ слева:

$$ T\stackrel q\longrightarrow M\stackrel{\sigma'_M}\longrightarrow T\times M \stackrel{e_l\times \mathrm {id}_M}\longrightarrow M\times M \stackrel m\longrightarrow M $$

и вычислим сквозную композицию двумя способами. С одной стороны, произведение трех последних стрелок есть ${\rm id}_M$, значит полное произведение есть $q$. С другой стороны, $\sigma'_M=\tau_M\ast\mathrm{id}_M$, значит $\sigma'_M\circ q=(\tau_M\ast\mathrm{id}_M)\circ q=(\tau_M\circ q)\ast(\mathrm{id}_M\circ q)=\tau_T\ast q$, и далее $ (e_l\times\mathrm{id}_M)\circ(\tau_T\ast q)=(e_l\circ\tau_T)\ast(\mathrm{id}_M\circ q)=(e_l\circ\mathrm{id}_T)\ast q=e_l\ast q$. Значит, полная композиция есть $m\circ(e_l\ast q)=e_l\star q$. Сравнивая, видим, что $q=e_l\star q$, что и требовалось.

[vpb]

То, что я писал выше, может подкрепить в возможном читателе, особенно в неокрепшем головой юношестве (если оно вдруг забредет в эту тему), распространенное заблуждение о том, что теория категорий --- это что-то очень крутое и важное. На самом деле, всё наоборот.

Математика, теоретическая, прикладная и учебная, имеет много разделов. Скажем, матанализ (обычный), алгебра, диффуры, УрЧП, дифгем, ТФКП, ТФДП, аналитическая геометрия, алгебраическая геометрия, вычислительная математика, оптимизация, теория представлений, функанализ, теорвер, и т.д. И механика --- тоже отрасль математики. (Строго говоря, никаких особенных границ между этими частями нет, и тем более границ между чистой и прикладной, но сейчас не об этом речь. ) Так вот, в подавляющем большинстве этих областей о категориях и слыхом не слыхивали, и не потому, что в этих областях какие-то глупые люди работают или что это второсортная математика (что не так), а потому, что не надо, и всё. Никак в этих областях категории не помогают. И на такую математику приходится процентов 80, я думаю, математики.

Из оставщихся 20 процентов 18 --- это такая математика, где категории иногда немного помогают что-то прояснить, добавить новые штрихи к пониманию, говоря высокопарно. Но там так: можно упоминать категории, а можно без них и обойтись, без особого ущерба. И только 2 процента --- это такая математика, где без категорий обойтись трудно, а часто и нельзя.

(Числа 80, 18 и 2 --- чисто на глаз, интуитивно. Да и притом это измерять можно в разных видах попугаев. Но в общем примерно так.)

Эти 2 процента --- это, по моим понятиям, алгебраическая топология, и сложные части алгебраической геометрии и теории представлений. Ну и разное другое (что-то из логики, из теоретической компьютерной науки, из теорфизики (впрочем, струнная теория --- бог весть, физика это или отрасль математики...)). Притом, заметим, в этих "двухпроцентных" областях нужны бывают категории каждый раз весьма специфические, а не категории в полной общности. И трудности в этих областях не категорные, а связаны с самим предметом.

Имея это в виду, есть ли смысл изучать теорию категорий заранее ? Я лично в своей жизни занимался сначала 18-областью, потом в сторону 2-области,

(Оффтоп)

и неоднократно использовал категории в своих работах, причем иногда такие, какие до меня никто и не знал

а сейчас 80-областью.

(Оффтоп)

впрочем, это условно. В моих нынешних занятиях одни части типа 80, другие 18, третьи вовсе 2, на самом деле.

Поэтому имею кой-какой опыт, есть что с чем сравнивать. Когда-то хотел предмет специально поизучать, правда не по Маклейну (он мне и тогда казался книжкой странной), а по Букур-Деляну, что к моим нуждам поближе, но руки не дошли. А сейчас думаю, и слава богу, а то только бы время бесполезно потратил.

[Geen]

vpb в сообщении #1643559 писал(а):

Никак в этих областях категории не помогают.

Возможно я неправ, но как мне кажется, ТС просто пытается изучить всю математику разом

[Dan B-Yallay]

Скорей натянуть некую категорную "сову" на математический "глобус".

[vpb]

Geen в сообщении #1643583 писал(а):

ТС просто пытается изучить всю математику разом

Застревание на категориях в точности противоположно намерению "изучить всю математику" (каковое и вообще не осуществимо). В силу вышеупомянутого соотношения 80-18-2.

Dan B-Yallay в сообщении #1643661 писал(а):

Скорей натянуть некую категорную "сову" на математический "глобус".

Да, многие сообщения ТС --- именно такого типа. Категорную сову на глобус конкретных частей математики.