2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Не теоретико-множественные модели
Сообщение15.06.2024, 22:20 


22/10/20
1185
Выделю в отдельную тему вопрос про теоретико-множественные модели.

dgwuqtj в сообщении #1642808 писал(а):
Аффинная схема над коммутативным кольцом $K$ — это просто коммутативная $K$-алгебра $A$ с единицей, но морфизмы перевёрнуты, $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Sch}_K}(A, B) = \mathrm{Hom}_{K\text{-}\mathrm{Alg}}(B, A)$.
Морфизм в K-Alg (как и в любой другой категории) - это множество, т.е. упорядоченная тройка вида (домен, что-то полезное, кодомен). Поэтому морфизмы в $Sch_K$ - это практически точно такие же множества, просто в представляющих их упорядоченных тройках первая и последняя компоненты поменяны местами. Но множества ведь.

dgwuqtj в сообщении #1642808 писал(а):
но это не конкретная категория (нет вполне строго непрерывного функтора в категорию множеств, по крайней мере, очевидного).
Конкретность категории - это более сильное свойство. Категория Rel малых множеств и бинарных отношений между ними - это тоже не конкретная категория, но в ней объекты и стрелки - множества.

dgwuqtj в сообщении #1642808 писал(а):
И как вы на теоретико-множественном языке хотя бы определите коммутатор $A \to A \otimes_K A$, если $A$ — групповой объект в $\mathrm{Sch}_K$?
Сложно ответить, потому что я самой темой плохо владею. Но если общими словами, то я не очень понимаю в чем проблема. Коммутатор - это просто стрелка, значит множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не теоретико-множественные модели
Сообщение15.06.2024, 22:30 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Так тут всё множества. Проблема в том, что хочется пользоваться обычными теоретико-групповыми свойствами применительно к групповым объектам. Это какие-то равенства композиций морфизмов в категории. Вот чтобы не доказывать их каждый раз заново, и пытаются либо применить лемму Йонеды, либо абстрактные соображения про неклассические логики. Лично мне проще с леммой Йонеды, но для других классов категорий и доказываемых утверждений (например, если нужны фактор-объекты по отношениям эквивалентности) её тоже надо обобщать.

Попробуйте сами доказать по определению такой факт: если $\mathcal C$ произвольная декартова категория и $M$ моноидальный объект с умножением $m \colon M \times M \to M$, то существует единственный морфизм $e \colon 1 \to M$ такой, что $m \circ (1 \times \mathrm{id}) \circ \lambda^{-1} = \mathrm{id} = m \circ (\mathrm{id} \times 1) \circ \rho^{-1} \colon M \to M$. То есть формально $m \circ (m \times \mathrm{id}) = m \circ (\mathrm{id} \times m) \circ \alpha \colon (M \times M) \times M \to M$ и какой-то такой $e$ существует, а надо доказать, что других нет. Тут $\alpha \colon (M \times M) \times M \to M \times (M \times M)$, $\lambda \colon 1 \times M \to M$ и $\rho \colon M \times 1 \to M$ — естественные изоморфизмы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не теоретико-множественные модели
Сообщение16.06.2024, 18:19 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
dgwuqtj в сообщении #1642818 писал(а):
морфизм $e \colon 1 \to M$ такой, что $m \circ (1 \times \mathrm{id}) \circ \lambda^{-1} = \mathrm{id} = m \circ (\mathrm{id} \times 1) \circ \rho^{-1} \colon M \to M$

Опечатка, надо $m \circ (e \times \mathrm{id}) \circ \lambda^{-1} = \mathrm{id} = m \circ (\mathrm{id} \times e) \circ \rho^{-1} \colon M \to M$. Через 1 же обозначен конечный объект.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не теоретико-множественные модели
Сообщение16.06.2024, 20:03 


22/10/20
1185
dgwuqtj, у меня не получается. Вроде простое утверждение, но не поддается. В доказательстве нужно знание о том, что $1$ - терминальный объект?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не теоретико-множественные модели
Сообщение16.06.2024, 20:43 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
EminentVictorians в сообщении #1643002 писал(а):
В доказательстве нужно знание о том, что $1$ - терминальный объект?

Там явно фигурируют изоморфизмы $\lambda$ и $\rho$, так что по идее как-то да. Если доказывать это по-нормальному, а не диаграммным поиском, то делают так (считая, что $\mathcal C$ и категория множеств $\mathbf{Set}$ малые):
Возьмём вложение Йонеды $\mathbf y \colon \mathcal C \to \widehat{\mathcal C} = \mathbf{Cat}(\mathcal C, \mathbf{Set}) \subseteq \mathbf{Set}^{\mathrm{Ob}(\mathcal C)}$. Так как оно сохраняет произведения, то $\mathbf y(M)$ будет моноидом относительно операции $\mathbf y(m) \colon \mathbf y(M)^2 \to \mathbf y(M)$ (опуская изоморфизм $\mathbf y(M^2) \cong \mathbf y(M)^2$). После такого вложения $\mathbf y(e)$ окажется единицей в $\mathbf y(M)$, и в силу единственности единицы в теоретико-множественных моноидах (всех компонентах $\mathbf y(M)$, то есть во всех $\mathcal C(T, M)$) обязательно $\mathbf y(e)$ единственный, ну и по инъективности $e$ тоже единственный.

А с помощью логики так: если $e, e'$ единицы, то $e = m(e, e') = e'$, где написана цепочка равенств между термами первого порядка. Именно это доказательство можно в принципе развернуть в диаграммный поиск, $e = m \circ (\mathrm{id} \times e') \circ \rho_M^{-1} \circ e = m \circ (e \times e') \circ \rho_1^{-1} = m \circ (e \times e') \circ \lambda_1^{-1} = m \circ (e \times \mathrm{id}) \circ \lambda_M^{-1} \circ e' = e' \colon 1 \to M$. Тут используется естественность изоморфизмов $\lambda, \rho$ и равенство $\lambda_1 = \rho_1 \colon 1 \times 1 \to 1$. С логикой, конечно, надо отдельно доказывать, что вывод в соответствующей теории можно перевести в категорное вычисление. Но для всяких там элементарных топосов обычной леммы Йонеды тоже недостаточно, а интуиционистская логика первого порядка работает.

-- 16.06.2024, 21:13 --

Кстати, утверждение верно и для моноидальных категорий, и логическое доказательство (в ещё более слабой логике, чем хорновские формулы) тоже работает. А лемма Йонеды — нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не теоретико-множественные модели
Сообщение16.06.2024, 21:16 


22/10/20
1185
dgwuqtj в сообщении #1643007 писал(а):
Там явно фигурируют изоморфизмы $\lambda$ и $\rho$, так что по идее как-то да.
Тогда у меня даже шансов не было. Я с этого и начал, что стал доказывать терминальность $1$. Для этого мне как раз и нужно было равенство проекций из $1 \times 1$ друг с другом и что они обе равны $\lambda_1$ и $\rho_1$. А я уже на этом месте застрял.

Честно говоря, думал, что получится обойтись элементарными методами. Вложение Йонеды это еще ладно, но то что придется использовать машинерию с сохранением пределов - это я удивлен.

К слову, я помню как я доказывал смежный факт про то, что категория с терминальным объектом и зафиксированным функтором бинарного произведения моноидальна. Там такой кошмар... Надо ввести все эти $\alpha, \lambda, \rho$, доказать, что они естественные, потом что они изоморфизмы. Потом доказать, что выполняется пятиугольная диаграмма и вторая диаграмма с $\alpha_{a, 1, b}$. У меня, кажется, листов 20 на это все ушло. Я прямо мечтал, чтобы была какая-нибудь техника, которая позволяла бы доказывать коммутативность диаграмм как-нибудь графически, а не проверять всю эту дичь по определению.

dgwuqtj в сообщении #1643007 писал(а):
а не диаграммным поиском,
Если не сложно, можете хотя бы на уровне идеи рассказать, что это такое. Diagram chasing - это оно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не теоретико-множественные модели
Сообщение16.06.2024, 21:42 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
EminentVictorians в сообщении #1643018 писал(а):
Diagram chasing - это оно?

Да, я имел просто доказательство по определению, в виде цепочки равенств между композициями морфизмов.
EminentVictorians в сообщении #1643018 писал(а):
придется использовать машинерию с сохранением пределов - это я удивлен.

Ну а как без этого? Смысл леммы Йонеды в данном случае в том, что $\mathbf y$ моноидален (сохраняет произведения и единицу с точностью до изоморфизма).

 Профиль  
                  
 
 Re: Не теоретико-множественные модели
Сообщение21.06.2024, 09:30 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
Давненько не брал я в руки шашек (с).

Будем использовать систему обозначений, в основном отличную от Маклейна и dgwuqtj.

Пусть ${\mathcal C}$ --- категория с конечными произведениями ("декартова"). Для $A,B\in\mathrm{Ob}\,{\mathcal C}$ пусть $A\times B$ --- их каноническое произведение, $\pi_A\colon A\times B\longrightarrow A$ и $\pi_B\colon A\times B\longrightarrow B$ --- проекции (в категорном смысле конечно, а не в теоретико-множественном. Т.е. некоторые элементы из $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(A\times B, A)$ и $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(A\times B, B)$).

Пусть $C$ --- третий объект, и $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(C,A)$, $g\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(C,B)$. В силу определения того, что такое $A\times B$, существует единственное $h\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(C,A\times B)$ такое, что $\pi_A\circ h=f$ и $\pi_B\circ h=g$. Будем обозначать это $h$ через $f\ast g$.

Отметим, что для произвольных $D$ и $p\colon D\longrightarrow C$ композиция $h_1=h\circ p$ такова, что $\pi_A\circ h_1=\pi_A\circ h\circ p=f\circ p$ и $\pi_B\circ h_1=g\circ p$. Значит $h_1=(f\circ p)\ast(g\circ p)$. Короче, получили формулу $$ (f\ast g)\circ p= (f\circ p)\ast(g\circ p). $$

Пусть, далее, $A,B,C,D$ --- произвольные 4 объекта, $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(A,C)$ и $g\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(B,D)$. Тогда $f\circ\pi_A$ и $g\circ\pi_B$ --- морфизмы из $A\times B$ в $C$ и $D$, соответственно, поэтому можно образовать $h=(f\circ\pi_A)\ast(g\circ\pi_B)$.
По определению, это $h$ и есть $f\times g$: $$ f\times g:=(f\circ\pi_A)\ast(g\circ\pi_B)\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(A\times B, C\times D).$$

Если $X$ --- какой-то объект, $f_1\colon X\longrightarrow A$ и $g_1\colon X\longrightarrow B$, то $f_1\ast g_1\colon X\longrightarrow A\times B$, и можно рассмотреть композицию $(f\times g)\circ(f_1\ast g_1)\colon X\longrightarrow C\times D$. Несложно доказать, что это есть $(f\circ f_1)\ast(g\circ g_1)$. (В самом деле,
$$\pi_C\circ((f\times g)\circ(f_1\ast g_1))=(\pi_C\circ(f\times g))\circ(f_1\ast g_1)= 
(f\circ\pi_A)\circ(f_1\ast g_1)=f\circ(\pi_A\circ(f_1\ast g_1))=f\ast f_1\,,$$
и аналогично $\pi_D\circ((f\times g)\circ(f_1\ast g_1))=g\circ g_1$ ). Итак,
$$ (f\times g)\circ(f_1\ast g_1)=(f\circ f_1)\ast (g\circ g_1). $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Не теоретико-множественные модели
Сообщение21.06.2024, 10:48 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
Через $T$ обозначим терминальный объект, и для $X\in\mathrm{Ob}\,{\mathcal C}$ пусть $\tau_X\colon X\longrightarrow T$ --- единственный морфизм. Ясно, что $\tau_Y\circ f=\tau_X$ для любого $f\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$.

Пусть $\pi_X\colon X\times T\longrightarrow X$ --- проекция. Рассмотрим также $\sigma_X=\mathrm{id}_X\ast\tau_X\colon X\longrightarrow X\times T$. Покажем, что это взаимно обратные изоморфизмы. Прежде всего, имеем $\pi_X\circ\sigma_X=\pi_X\circ({\rm id}_X\ast\tau_X)={\rm id}_X$ по определению операции $\ast$. Затем,
$$ \pi_X\circ(\sigma_X\circ\pi_X)=(\pi_X\circ\sigma_X)\circ\pi_X={\rm id}_X\circ\pi_X=\pi_X\,,$$
а также $\pi_T\circ(\sigma_X\circ\pi_X)=\pi_T$, так как $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X\times T,T)$ состоит из одного элемента. Но также $\pi_X\circ\mathrm{id}_{X\times T} =\pi_X$ и $\pi_T\circ\mathrm{id}_{X\times T}=\pi_T$, значит $\sigma_X \circ\pi_X=\mathrm{id}_{X\times T}$, по определению произведения. Короче, $\sigma_X$ и $\pi_X$ --- взаимно обратны.

То есть, $\pi_X$ --- не что иное, как $\rho_X$ в обозначениях Маклейна (точнее, у него $\rho_a$, так как объекты малыми буквами обозначаются), а $\rho_X^{-1} =\sigma_X$. Если же те же рассуждения применить к произведению $T\times X$, а не $X\times T$, получатся $\lambda_X$ и $\lambda_X^{-1}=\sigma'_X=\tau_X\ast\mathrm{id}_X\colon X\longrightarrow T\times X$ соответственно.

-- 21.06.2024, 10:10 --

Перейдем собственно к задаче. Пусть $M$ --- моноидальный объект ("моноид в категории", по Маклейну), и $m\colon M\times M\longrightarrow M$ --- его морфизм умножения. Назовем $e_r\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(T,M)$ правой единицей, если композиция
$$ M\stackrel{\sigma_M}\longrightarrow M\times T \stackrel{\mathrm{id}_M\times e_r}\longrightarrow 
M\times M \stackrel m\longrightarrow M $$
есть $\mathrm{id}_M$; аналогично $e_l$ --- левая единица, если
$$ M\stackrel{\sigma'_M}\longrightarrow T\times M \stackrel{e_l\times \mathrm{id}_M}\longrightarrow 
M\times M \stackrel m\longrightarrow M $$
есть $\mathrm{id}_M$. По определению моноида, существует $e$, являющееся двусторонней единицей, т.е. правой и левой одновременно. И нам надо показать, что если $e'$ --- любая двусторонняя единица, то $e'=e$.

Если $p,q\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(T,M)$, то $p\ast q\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(T,M\times M)$. Мы можем взять композицию с $m$, и получить вновь элемент из $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(T,M)$. Т.е. получается операция на $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(T,M)$, которую обозначим, скажем, $\star$:
$$p\star q:=m\circ(p\ast q)$$.
Покажем, что если $e$ --- левая единица, то всегда $e\star q=q$, для любого $q\in\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(T,M)$, и аналогично $q\star e=q$ для правой единицы. Отсюда и будет следовать, что двусторонняя единица единственна (ибо $e'=e\star e'=e$).

-- 21.06.2024, 10:35 --

Пририсуем к последней диаграмме $q$ слева:
$$ T\stackrel q\longrightarrow M\stackrel{\sigma'_M}\longrightarrow T\times M \stackrel{e_l\times 
\mathrm {id}_M}\longrightarrow M\times M \stackrel m\longrightarrow M $$
и вычислим сквозную композицию двумя способами. С одной стороны, произведение трех последних стрелок есть ${\rm id}_M$, значит полное произведение есть $q$. С другой стороны, $\sigma'_M=\tau_M\ast\mathrm{id}_M$, значит $\sigma'_M\circ q=(\tau_M\ast\mathrm{id}_M)\circ q=(\tau_M\circ q)\ast(\mathrm{id}_M\circ q)=\tau_T\ast q$, и далее $ (e_l\times\mathrm{id}_M)\circ(\tau_T\ast q)=(e_l\circ\tau_T)\ast(\mathrm{id}_M\circ q)=(e_l\circ\mathrm{id}_T)\ast q=e_l\ast q$. Значит, полная композиция есть $m\circ(e_l\ast q)=e_l\star q$. Сравнивая, видим, что $q=e_l\star q$, что и требовалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не теоретико-множественные модели
Сообщение22.06.2024, 11:30 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
То, что я писал выше, может подкрепить в возможном читателе, особенно в неокрепшем головой юношестве (если оно вдруг забредет в эту тему), распространенное заблуждение о том, что теория категорий --- это что-то очень крутое и важное. На самом деле, всё наоборот.

Математика, теоретическая, прикладная и учебная, имеет много разделов. Скажем, матанализ (обычный), алгебра, диффуры, УрЧП, дифгем, ТФКП, ТФДП, аналитическая геометрия, алгебраическая геометрия, вычислительная математика, оптимизация, теория представлений, функанализ, теорвер, и т.д. И механика --- тоже отрасль математики. (Строго говоря, никаких особенных границ между этими частями нет, и тем более границ между чистой и прикладной, но сейчас не об этом речь. ) Так вот, в подавляющем большинстве этих областей о категориях и слыхом не слыхивали, и не потому, что в этих областях какие-то глупые люди работают или что это второсортная математика (что не так), а потому, что не надо, и всё. Никак в этих областях категории не помогают. И на такую математику приходится процентов 80, я думаю, математики.

Из оставщихся 20 процентов 18 --- это такая математика, где категории иногда немного помогают что-то прояснить, добавить новые штрихи к пониманию, говоря высокопарно. Но там так: можно упоминать категории, а можно без них и обойтись, без особого ущерба. И только 2 процента --- это такая математика, где без категорий обойтись трудно, а часто и нельзя.

(Числа 80, 18 и 2 --- чисто на глаз, интуитивно. Да и притом это измерять можно в разных видах попугаев. Но в общем примерно так.)

Эти 2 процента --- это, по моим понятиям, алгебраическая топология, и сложные части алгебраической геометрии и теории представлений. Ну и разное другое (что-то из логики, из теоретической компьютерной науки, из теорфизики (впрочем, струнная теория --- бог весть, физика это или отрасль математики...)). Притом, заметим, в этих "двухпроцентных" областях нужны бывают категории каждый раз весьма специфические, а не категории в полной общности. И трудности в этих областях не категорные, а связаны с самим предметом.

Имея это в виду, есть ли смысл изучать теорию категорий заранее ? Я лично в своей жизни занимался сначала 18-областью, потом в сторону 2-области,

(Оффтоп)

и неоднократно использовал категории в своих работах, причем иногда такие, какие до меня никто и не знал
а сейчас 80-областью.

(Оффтоп)

впрочем, это условно. В моих нынешних занятиях одни части типа 80, другие 18, третьи вовсе 2, на самом деле.

Поэтому имею кой-какой опыт, есть что с чем сравнивать. Когда-то хотел предмет специально поизучать, правда не по Маклейну (он мне и тогда казался книжкой странной), а по Букур-Деляну, что к моим нуждам поближе, но руки не дошли. А сейчас думаю, и слава богу, а то только бы время бесполезно потратил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не теоретико-множественные модели
Сообщение22.06.2024, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
vpb в сообщении #1643559 писал(а):
Никак в этих областях категории не помогают.

Возможно я неправ, но как мне кажется, ТС просто пытается изучить всю математику разом :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Не теоретико-множественные модели
Сообщение22.06.2024, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10056
Скорей натянуть некую категорную "сову" на математический "глобус".

 Профиль  
                  
 
 Re: Не теоретико-множественные модели
Сообщение23.06.2024, 18:22 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
Geen в сообщении #1643583 писал(а):
ТС просто пытается изучить всю математику разом
Застревание на категориях в точности противоположно намерению "изучить всю математику" (каковое и вообще не осуществимо). В силу вышеупомянутого соотношения 80-18-2.
Dan B-Yallay в сообщении #1643661 писал(а):
Скорей натянуть некую категорную "сову" на математический "глобус".
Да, многие сообщения ТС --- именно такого типа. Категорную сову на глобус конкретных частей математики.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group