2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дважды ковариантный тензор момента инерции
Сообщение22.06.2024, 15:41 


04/09/23
80
У Ильина Позняка в Линейной алгебре выводиться тензор момента инерции типа (1,1)
$J_{p}^{i} = \int\limits_{}^{} (g_{kn}\delta_{p}^{i} - g_{kp}\delta_{n}^{i} )r^{n}r^{k}dm$
Далее говориться, что если опустить индекс i с помошью метрического тензора, то получим дважды ковариантный тензор момента инерии:
$J_{ip} = \int\limits_{}^{} (r^2 g_{ip} - r_i r_p)dm$
Вопрос, как его получить опусканием индекса ? Это выражение очевидно в случае ортонормированной системы координат, но я так понимаю оно должно быть верно и в произвольной ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дважды ковариантный тензор момента инерции
Сообщение22.06.2024, 15:49 


21/12/16
721
Enceladoglu в сообщении #1643586 писал(а):
Вопрос, как его получить опусканием индекса ?

домножить левую и правую часть равенства на $g_{is}$ очевидно

 Профиль  
                  
 
 Re: Дважды ковариантный тензор момента инерции
Сообщение22.06.2024, 16:15 


04/09/23
80
drzewo
Это понятно, но что дальше ?)
$ g_{is}J_{p}^{s} =  g_{is}(g_{kn}\delta_{p}^{s} - g_{kp}\delta_{n}^{s} )r^{n}r^{k} = (g_{kn} g_{is}\delta_{p}^{s} - g_{kp} g_{is}\delta_{n}^{s} )r^{n}r^{k} =$
$=  (g_{kn}g_{ip} - g_{kp}g_{in})r^{n}r^{k}$
Вопрос что дальше ? Тут нужно использовать какое-то свойство метрического тензора (интеграл я тут для краткости опустил)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дважды ковариантный тензор момента инерции
Сообщение22.06.2024, 16:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
Enceladoglu в сообщении #1643591 писал(а):
Вопрос что дальше ?

Так скобки раскройте.
drzewo в сообщении #1643588 писал(а):
домножить левую и правую часть равенства на $g_{is}$ очевидно

Под интегралом?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Дважды ковариантный тензор момента инерции
Сообщение22.06.2024, 16:33 


04/09/23
80
Geen
$g_{kn}g_{ip}r^{n}r^{k} - g_{kp}g_{in}r^{n}r^{k}$
Ага, и ?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дважды ковариантный тензор момента инерции
Сообщение22.06.2024, 17:11 


21/12/16
721
Geen в сообщении #1643592 писал(а):
Под интегралом?...

разумекется. А вы, что думали, что в таких задачах метрический тензор от точки зависит? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Дважды ковариантный тензор момента инерции
Сообщение22.06.2024, 17:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
Enceladoglu
Ну что такое $g_{ij}r^ir^j$ и $g_{ij}r^i$?

-- 22.06.2024, 17:16 --

drzewo в сообщении #1643598 писал(а):
А вы, что думали, что в таких задачах метрический тензор от точки зависит?

Не знаю (упомянутой книги нет под рукой)...
Ну, то есть, с одной стороны это вроде как линейная алгебра, но с другой ведь тензор инерции... :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Дважды ковариантный тензор момента инерции
Сообщение22.06.2024, 17:38 


04/09/23
80
Geen
Ну первое это скалярное произведение
Второе честно говоря не скажу

 Профиль  
                  
 
 Re: Дважды ковариантный тензор момента инерции
Сообщение22.06.2024, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
Enceladoglu в сообщении #1643602 писал(а):
Второе честно говоря не скажу

А как выглядит поднятие или опускание индексов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дважды ковариантный тензор момента инерции
Сообщение22.06.2024, 17:45 


04/09/23
80
Geen
А тю, это опускание индекса у вектора, т.е. ковариантный вектор (Вернее его j-я координата)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дважды ковариантный тензор момента инерции
Сообщение22.06.2024, 18:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Enceladoglu в сообщении #1643586 писал(а):
Это выражение очевидно в случае ортонормированной системы координат, но я так понимаю оно должно быть верно и в произвольной ?
Точно нет. Вообще, подобные интегралы следует записывать с большой осторожностью.

Пример 1. Радиус-вектор $\mathbf r=\vec{OA}$ связывает две точки, $O$ (начало координат) и $A$. В произвольной системе координат в точке $O$ и $A$ разные базисы: $(\mathbf e_i)_O$ и $(\mathbf e_i)_A$. Они не получаются друг из друга параллельным переносом. Как тогда понимать $r^i$ ? Это коэффициенты разложения $\mathbf r$ по какому базису?

Пример 2. В некоторой криволинейной системе координат надо проинтегрировать векторное поле $\mathbf a$ вдоль кривой $\gamma$:
$\mathbf b=\int\limits_\gamma \mathbf a\,ds$
Пусть оказалось, что всюду компонента $a^1=1$. А мы и рады:
$b^1=\int\limits_\gamma a^1 ds=\int\limits_\gamma ds=L$ (длина кривой $\gamma$)
Снимаем черное покрывало и видим: использовались полярные координаты, кривая $\gamma$ была окружностью с центром в начале, а единичный вектор $\mathbf a$ был всюду нормален к $\gamma$. Так что обязан был получиться нуль. Значит, так интегрировать нельзя!

Как же пишут подобные интегралы с компонентами? Условие — постоянство базиса, независимость его от точки. То есть в каждой точке базис можно получить параллельным переносом базиса из любой другой точки. И тогда базисные векторы или тензоры можно вынести за знак интеграла:
$\mathsf J=J_{ip}\mathbf e^i\otimes\mathbf e^p = \int(r^2 g_{ip} - r_i r_p)\mathbf e^i\otimes\mathbf e^p dm=\left(\int(r^2 g_{ip} - r_i r_p)\,dm\right)\mathbf e^i\otimes\mathbf e^p$
А потом "сократить":
$J_{ip}= \int(r^2 g_{ip} - r_i r_p)\,dm$
Ну а постоянство базиса — свойство декартовых координат (общих, в т.ч. косоугольных).

 Профиль  
                  
 
 Re: Дважды ковариантный тензор момента инерции
Сообщение22.06.2024, 18:42 


04/09/23
80
svv
Еще не все прочел, но сразу отмечу что работаем мы в декартовых общих ( в т.ч. косоугольных) координатах

 Профиль  
                  
 
 Re: Дважды ковариантный тензор момента инерции
Сообщение22.06.2024, 20:56 


21/12/16
721
В определение тензора инерции входит точка относительно которой он вычисляется, обозначим эту точку за $O$. Соответственно вектор $\mathbf{r}$, указывающий на массу $dm$ это вектор касательного пространства $T_O\mathbb{R}^3$. Бессмысленно вводить криволинейные системы координат в касательном прпостранстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дважды ковариантный тензор момента инерции
Сообщение22.06.2024, 22:18 


04/09/23
80
Geen
Спасибо ! Сейчас заново посмотрел на выражение которое нужно получить и за секунду все понял.
$r_i = g_{in}r^{n}$
$r_p = g_{kp}r^{k}$
$ g_{kn}r^{n}r^{k} = r^2 $ - квадрат длины вектора, ибо это его скалярное произведение самого на себя
$ g_{kn}g_{ip}r^{n}r^{k} - g_{kp}g_{in}r^{n}r^{k} = g_{ip} r^2  - r_i r_p $

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group