Это выражение очевидно в случае ортонормированной системы координат, но я так понимаю оно должно быть верно и в произвольной ?
Точно нет. Вообще, подобные интегралы следует записывать с большой осторожностью.
Пример 1. Радиус-вектор
связывает две точки,
(начало координат) и
. В произвольной системе координат в точке
и
разные базисы:
и
. Они
не получаются друг из друга параллельным переносом. Как тогда понимать
? Это коэффициенты разложения
по какому базису?
Пример 2. В некоторой криволинейной системе координат надо проинтегрировать векторное поле
вдоль кривой
:
Пусть оказалось, что всюду компонента
. А мы и рады:
(длина кривой
)
Снимаем черное покрывало и видим: использовались полярные координаты, кривая
была окружностью с центром в начале, а единичный вектор
был всюду нормален к
. Так что обязан был получиться нуль. Значит, так интегрировать нельзя!
Как же пишут подобные интегралы с компонентами? Условие — постоянство базиса, независимость его от точки. То есть в каждой точке базис можно получить параллельным переносом базиса из любой другой точки. И тогда базисные векторы или тензоры можно вынести за знак интеграла:
А потом "сократить":
Ну а постоянство базиса — свойство декартовых координат (общих, в т.ч. косоугольных).