Это выражение очевидно в случае ортонормированной системы координат, но я так понимаю оно должно быть верно и в произвольной ?
Точно нет. Вообще, подобные интегралы следует записывать с большой осторожностью.
Пример 1. Радиус-вектор

связывает две точки,

(начало координат) и

. В произвольной системе координат в точке

и

разные базисы:

и

. Они
не получаются друг из друга параллельным переносом. Как тогда понимать

? Это коэффициенты разложения

по какому базису?
Пример 2. В некоторой криволинейной системе координат надо проинтегрировать векторное поле

вдоль кривой

:

Пусть оказалось, что всюду компонента

. А мы и рады:

(длина кривой

)
Снимаем черное покрывало и видим: использовались полярные координаты, кривая

была окружностью с центром в начале, а единичный вектор

был всюду нормален к

. Так что обязан был получиться нуль. Значит, так интегрировать нельзя!
Как же пишут подобные интегралы с компонентами? Условие — постоянство базиса, независимость его от точки. То есть в каждой точке базис можно получить параллельным переносом базиса из любой другой точки. И тогда базисные векторы или тензоры можно вынести за знак интеграла:

А потом "сократить":

Ну а постоянство базиса — свойство декартовых координат (общих, в т.ч. косоугольных).