Дважды ковариантный тензор момента инерции

[Enceladoglu]

У Ильина Позняка в Линейной алгебре выводиться тензор момента инерции типа (1,1)
$J_{p}^{i} = \int\limits_{}^{} (g_{kn}\delta_{p}^{i} - g_{kp}\delta_{n}^{i} )r^{n}r^{k}dm$
Далее говориться, что если опустить индекс i с помошью метрического тензора, то получим дважды ковариантный тензор момента инерии:
$J_{ip} = \int\limits_{}^{} (r^2 g_{ip} - r_i r_p)dm$
Вопрос, как его получить опусканием индекса ? Это выражение очевидно в случае ортонормированной системы координат, но я так понимаю оно должно быть верно и в произвольной ?

[drzewo]

Enceladoglu в сообщении #1643586 писал(а):

Вопрос, как его получить опусканием индекса ?

домножить левую и правую часть равенства на $g_{is}$ очевидно

[Enceladoglu]

drzewo
Это понятно, но что дальше ?)
$ g_{is}J_{p}^{s} = g_{is}(g_{kn}\delta_{p}^{s} - g_{kp}\delta_{n}^{s} )r^{n}r^{k} = (g_{kn} g_{is}\delta_{p}^{s} - g_{kp} g_{is}\delta_{n}^{s} )r^{n}r^{k} =$
$= (g_{kn}g_{ip} - g_{kp}g_{in})r^{n}r^{k}$
Вопрос что дальше ? Тут нужно использовать какое-то свойство метрического тензора (интеграл я тут для краткости опустил)

[Geen]

Enceladoglu в сообщении #1643591 писал(а):

Вопрос что дальше ?

Так скобки раскройте.

drzewo в сообщении #1643588 писал(а):

домножить левую и правую часть равенства на $g_{is}$ очевидно

Под интегралом?...

[Enceladoglu]

Geen
$g_{kn}g_{ip}r^{n}r^{k} - g_{kp}g_{in}r^{n}r^{k}$
Ага, и ?)

[drzewo]

Geen в сообщении #1643592 писал(а):

Под интегралом?...

разумекется. А вы, что думали, что в таких задачах метрический тензор от точки зависит?

[Geen]

Enceladoglu
Ну что такое $g_{ij}r^ir^j$ и $g_{ij}r^i$?

-- 22.06.2024, 17:16 --

drzewo в сообщении #1643598 писал(а):

А вы, что думали, что в таких задачах метрический тензор от точки зависит?

Не знаю (упомянутой книги нет под рукой)...
Ну, то есть, с одной стороны это вроде как линейная алгебра, но с другой ведь тензор инерции...

[Enceladoglu]

Geen
Ну первое это скалярное произведение
Второе честно говоря не скажу

[Geen]

Enceladoglu в сообщении #1643602 писал(а):

Второе честно говоря не скажу

А как выглядит поднятие или опускание индексов?

[Enceladoglu]

Geen
А тю, это опускание индекса у вектора, т.е. ковариантный вектор (Вернее его j-я координата)

[svv]

Enceladoglu в сообщении #1643586 писал(а):

Это выражение очевидно в случае ортонормированной системы координат, но я так понимаю оно должно быть верно и в произвольной ?

Точно нет. Вообще, подобные интегралы следует записывать с большой осторожностью.

Пример 1. Радиус-вектор $\mathbf r=\vec{OA}$ связывает две точки, $O$ (начало координат) и $A$. В произвольной системе координат в точке $O$ и $A$ разные базисы: $(\mathbf e_i)_O$ и $(\mathbf e_i)_A$. Они не получаются друг из друга параллельным переносом. Как тогда понимать $r^i$ ? Это коэффициенты разложения $\mathbf r$ по какому базису?

Пример 2. В некоторой криволинейной системе координат надо проинтегрировать векторное поле $\mathbf a$ вдоль кривой $\gamma$:
$\mathbf b=\int\limits_\gamma \mathbf a\,ds$
Пусть оказалось, что всюду компонента $a^1=1$. А мы и рады:
$b^1=\int\limits_\gamma a^1 ds=\int\limits_\gamma ds=L$ (длина кривой $\gamma$)
Снимаем черное покрывало и видим: использовались полярные координаты, кривая $\gamma$ была окружностью с центром в начале, а единичный вектор $\mathbf a$ был всюду нормален к $\gamma$. Так что обязан был получиться нуль. Значит, так интегрировать нельзя!

Как же пишут подобные интегралы с компонентами? Условие — постоянство базиса, независимость его от точки. То есть в каждой точке базис можно получить параллельным переносом базиса из любой другой точки. И тогда базисные векторы или тензоры можно вынести за знак интеграла:
$\mathsf J=J_{ip}\mathbf e^i\otimes\mathbf e^p = \int(r^2 g_{ip} - r_i r_p)\mathbf e^i\otimes\mathbf e^p dm=\left(\int(r^2 g_{ip} - r_i r_p)\,dm\right)\mathbf e^i\otimes\mathbf e^p$
А потом "сократить":
$J_{ip}= \int(r^2 g_{ip} - r_i r_p)\,dm$
Ну а постоянство базиса — свойство декартовых координат (общих, в т.ч. косоугольных).

[Enceladoglu]

svv
Еще не все прочел, но сразу отмечу что работаем мы в декартовых общих ( в т.ч. косоугольных) координатах

[drzewo]

В определение тензора инерции входит точка относительно которой он вычисляется, обозначим эту точку за $O$. Соответственно вектор $\mathbf{r}$, указывающий на массу $dm$ это вектор касательного пространства $T_O\mathbb{R}^3$. Бессмысленно вводить криволинейные системы координат в касательном прпостранстве.

[Enceladoglu]

Geen
Спасибо ! Сейчас заново посмотрел на выражение которое нужно получить и за секунду все понял.
$r_i = g_{in}r^{n}$
$r_p = g_{kp}r^{k}$
$ g_{kn}r^{n}r^{k} = r^2 $ - квадрат длины вектора, ибо это его скалярное произведение самого на себя
$ g_{kn}g_{ip}r^{n}r^{k} - g_{kp}g_{in}r^{n}r^{k} = g_{ip} r^2 - r_i r_p $