Задача из матана

[Gg322]

https://i.yapx.ru/XKFjV.jpg
Пункт а. Если рассмотреть множество $M=\{y \in \mathbb{R}^{n} |y=f(x),x \in\mathbb{R}^{n}\}$ и ограничение функции f на множество M, то будет выполнено $f(y)=y, \forall y \in M$. Поэтому $f’(y)=E$, где Е единичная матрица. Получается ограничение f на M имеет ненулевую производную, значит имеет обратное отображение, которое будет непрерывно дифференцируемым. Пусть размерность M равна k, тогда $f|_{M} $ будет диффеоморфизмом, переводящий пространство $\mathbb{R}^{k}$ в $f(\mathbb{R}^{n})$, значит $f(\mathbb{R}^{n})$ поверхность размерности k.
Правильные ли рассуждения? И вопрос с пунктом b. Размерность определяется рангом $f|_{M} $?

[drzewo]

Gg322 в сообщении #1630581 писал(а):

Получается ограничение f на M имеет ненулевую производную

что значит производная отображения определенного на непойми-каком-множестве?

[Gg322]

drzewo в сообщении #1643538 писал(а):

Gg322 в сообщении #1630581 писал(а):

Получается ограничение f на M имеет ненулевую производную

что значит производная отображения определенного на непойми-каком-множестве?

Тоже не понимаю, но видимо, когда я делал, возможно я подумал, что непрерывность f даст возможность определить производную.

[Gg322]

При дифференцировании композиции получим $(f(f(x)))’=f’(y)y’, y\in M$. Это же обеспечивает дифференцируемость на M, или нет?

[drzewo]

Образ $f(\mathbb{R}^n)$ состоит ,очевидно, из неподвижных точек.
Пусть $\tilde x$ -- неподвижная точка. В окрестности этой точки введем координаты

$$(X,Y),\quad X=(X_1,\ldots,X_k),\quad Y=(Y_1,\ldots, Y_s),\quad k+s=n$$

такие, что
$\tilde x=0$ и

$$f(X,Y)=(X+u(X,Y),v(X,Y)),\quad u,v=O(|X|^2+|Y|^2)$$

Это можно сделать потому, что $df(\tilde x)$ -- проектор
Рассмотрим уравнение неподвижной точки

$$X=X+u(X,Y),\quad Y=v(X,Y).$$

По теореме о неявной функции второе уравнение решается $Y=\gamma(X),\quad \Gamma=\{(X,\gamma(X))\}$. -- график -- гладкое многообразие, которое содержит все неподвижные точки из малой окрестности $\tilde x$.
Множество $f(\Gamma)=\{(X+u(X,\gamma(X)),v(X,\gamma(X)))\}$ состоит из неподвижных точек.
Теперь можно выбрать малое $\varepsilon>0$ и малую окркстность $U$ точки $\tilde x$ такие, что множество

$$\{(X+u(X,\gamma(X)),v(X,\gamma(X)))\mid |X|<\varepsilon\}\cap U$$

не содержит других неподвижных точек, кроме точек множества $\{(X+u(X,\gamma(X)),v(X,\gamma(X)))\mid |X|<\varepsilon\}$
Значит в окрестности точки $\tilde x$ множество $f(\mathbb{R}^n)$ является гладким многообразием с локальными координатами $X$.

[Gg322]

Как-то слишком мудрено. Нельзя просто сказать, что для $\varphi=f|_{M}$ выполнено $\varphi’=E,\operatorname{rk}(E)=k,E$-единичная матрица. Значит $\varphi$ окрестность каждой точки из M переводит в $k$-мерный кубик.