2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать, что подпространство.
Сообщение21.06.2024, 18:59 


14/02/20
863
Задача 4.19 из Треногина
Доказать, что в пространстве $L_2[a,b]$ множество таких функций, что $\int\limits_a^bx(t)dt=0$ (назовем это множество $M$) является подпространством.

Можно доказать через общую теорему о расщеплении. Очевидно, что любая $y(t)=const\in M^{\perp}$ (я так понимаю, что $M$ только из них и состоит, но это не нужно доказывать). Тогда для $z(t)\in L_2[a,b]$ такой, что $\int\limits_a^bz(t)dt=A$ $$z(t)=z(t)-\frac A{b-a}+\frac A{b-a},$$ где $z(t)-\frac A{b-a}\in M$, а $\frac A{b-a}\in M^{\perp}$. Отсюда, сделав некоторые пассы руками, можно доказать, что $M$ - замкнуто, чтд.

Но можно ли доказать явно, рассмотрев $x_n\to x$ и доказав, что $x\in M$? что-то не получается аналитически...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что подпространство.
Сообщение21.06.2024, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
artempalkin в сообщении #1643511 писал(а):
Но можно ли доказать явно, рассмотрев $x_n\to x$ и доказав, что $x\in M$? что-то не получается аналитически...

Именно так и нужно: $$\int\limits_a^bx(t)dt=\int\limits_a^b(x(t)-x_n(t))dt.$$
Дальше -- Коши-Буняковский.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что подпространство.
Сообщение21.06.2024, 19:22 


21/12/16
721
линейный функционал на нормированном пространстве непрерывен тогда и только тогда когда он непрерывен в нуле и тогда и только тогда когда он ограничен
ядро непрерывного функционала является замкнутым подпространством

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что подпространство.
Сообщение22.06.2024, 10:25 


14/02/20
863
drzewo в сообщении #1643514 писал(а):
когда он ограничен

А ограниченность доказывается через НКБ?

thething в сообщении #1643513 писал(а):
Именно так и нужно: $$\int\limits_a^bx(t)dt=\int\limits_a^b(x(t)-x_n(t))dt.$$
Дальше -- Коши-Буняковский.

Да, все проще, чем мне казалось, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group