Доказать, что подпространство.

[artempalkin]

Задача 4.19 из Треногина
Доказать, что в пространстве $L_2[a,b]$ множество таких функций, что $\int\limits_a^bx(t)dt=0$ (назовем это множество $M$) является подпространством.

Можно доказать через общую теорему о расщеплении. Очевидно, что любая $y(t)=const\in M^{\perp}$ (я так понимаю, что $M$ только из них и состоит, но это не нужно доказывать). Тогда для $z(t)\in L_2[a,b]$ такой, что $\int\limits_a^bz(t)dt=A$

$$z(t)=z(t)-\frac A{b-a}+\frac A{b-a},$$

где $z(t)-\frac A{b-a}\in M$, а $\frac A{b-a}\in M^{\perp}$. Отсюда, сделав некоторые пассы руками, можно доказать, что $M$ - замкнуто, чтд.

Но можно ли доказать явно, рассмотрев $x_n\to x$ и доказав, что $x\in M$? что-то не получается аналитически...

[thething]

artempalkin в сообщении #1643511 писал(а):

Но можно ли доказать явно, рассмотрев $x_n\to x$ и доказав, что $x\in M$? что-то не получается аналитически...

Именно так и нужно:

$$\int\limits_a^bx(t)dt=\int\limits_a^b(x(t)-x_n(t))dt.$$

Дальше -- Коши-Буняковский.

[drzewo]

линейный функционал на нормированном пространстве непрерывен тогда и только тогда когда он непрерывен в нуле и тогда и только тогда когда он ограничен
ядро непрерывного функционала является замкнутым подпространством

[artempalkin]

drzewo в сообщении #1643514 писал(а):

когда он ограничен

А ограниченность доказывается через НКБ?

thething в сообщении #1643513 писал(а):

Именно так и нужно:

$$\int\limits_a^bx(t)dt=\int\limits_a^b(x(t)-x_n(t))dt.$$

Дальше -- Коши-Буняковский.

Да, все проще, чем мне казалось, спасибо!