Про определение тождества

[Neznajka_]

Всех приветствую.

Когда я проходил алгебру за 6-й (по советскому учебнику) класс, то в учебнике понятие тождества давалось как тождество на определенном множестве.
Ну вот специально нашел этот учебник, процитирую его (тема - "понятие тождества"):

Цитата:

Два выражения с одной переменной называются тождественно равными на множестве , если при любом значении переменной, принадлежащем этому множеству, их значения равны.

Цитата:

Равенства, в которых левая и правая части - выражения, тождественно равные на некотором множестве, называют тождествами на этом множестве.

То есть обратите внимание, что в "на множестве" - речь не идет конкретно об области определения (или я не прав?). Соответственно, как для себя усвоил понятие "тождества" - что это равенство, становящееся истинным на определенном множестве значений переменной (переменных), на множестве всех чисел по-умолчанию (когда говорят просто "тождество").
Но последнее время в интернете по темам, связанным с тождествами, сталкиваюсь с таким определением: "тождество - равенство, истинное при любых допустимых значениях входящих в него переменных". Ради интереса открыл (более или менее) новые учебники по алгебре (соответственно за 7 класс), там тождество определяется как:

Цитата:

Равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных

(конкретно это из Мерзляка, 7кл, 2014 г).

Вот интересная цитата с одного форума в интернете:

Цитата:

например, равенство x+x=4 верно только при х, равном двум, это не тождественное равенство.
а вот равенство х+х=2х - верно при любом х, это тождественное равенство.

Равенство $x + x = 4$ можно назвать тождеством, но на множестве всего из одного числа, 2. Или я не прав?

Или вот, человек спрашивает "Чем математические уравнения отличаются от математических тождеств?"

Цитата:

И то, и другое - равенство двух выражений. Но уравнение верно не при всех (вообще говоря) переменных, входящих в него, тогда как тождество верно при любых допустимых значениях переменных.
Решить уравнение - значит найти все значения переменных, при которых равенство верно (или доказать, что таких нет), а доказать тождество - значит доказать, что равенство верно при любых допустимых значениях переменных.

Ну т.е., соответственно этому ответу, равенство, к примеру $|x| = x $ не может быть тождеством ни с какими оговорками, это уравнение. А по мне так можно сказать, что это тождество при неотрицательном значении x. Или я, опять же, не прав?

Смущает, что в интернете в контексте школьной математики (а выше лезть не хочу из-за уровня) касательно определения тождеств не встречаю упоминания того, что понятие тождества связано с некоторым множеством, которое может быть подмножеством области определения, и не быть равным ей. То есть я пока что вообще нигде не встретил такого упоминания, и понятия "тождества на множестве". Поэтому начали уже закрадываться сомнения в, так сказать, "легитимности" использования этого понятия. Может в том моём советском учебнике что-то намудрили, или может я чего-то не понял, или всё-таки просто имеем дело с более поверхностными знаниями в современных школьных учебниках, и следствиями из этого?

[drzewo]

Neznajka_ в сообщении #1642899 писал(а):

То есть обратите внимание, что в "на множестве" - речь не идет конкретно об области определения

о подмножестве области определения
например $x/|x|=1$ -- тождество на множестве $x>0$

[Neznajka_]

drzewo в сообщении #1642917 писал(а):

Neznajka_ в сообщении #1642899 писал(а):

То есть обратите внимание, что в "на множестве" - речь не идет конкретно об области определения

о подмножестве области определения

Что очевидно.

[drzewo]

а что неочевидно?

[Neznajka_]

drzewo в сообщении #1642950 писал(а):

а что неочевидно?

Вы первое сообщение в теме читали полностью и более-менее внимательно?
Там, где знаки вопроса ("?") - это значит, что не понятно, хотелось бы разъяснений.

[drzewo]

Читал, да. Поэтому и спрашиваю. Вот вы говорите, что понятие <<тождество на множестве>> вам очевидно. А как по-вашему на данном математическом понятии может отразиться тот факт, что в одном учебнике оно упоянуто, а в другом нет?

[Neznajka_]

drzewo в сообщении #1642975 писал(а):

Читал, да. Поэтому и спрашиваю. Вот вы говорите, что понятие <<тождество на множестве>> вам очевидно. А как по-вашему на данном математическом понятии может отразиться тот факт, что в одном учебнике оно упоянуто, а в другом нет?

Очевидно не очевидно - не сочтите за бестактность, но просто ответьте на каждый заданный вопрос. Вам, полагаю, не трудно. А если трудно, то зачем Вы здесь - показать, что я в чём-то сомневаюсь и могу путаться? Ну это как-бы ни для кого не секрет, включая меня самого.

[drzewo]

Дадим определение. Пусть есть две функции $f,g$ с областями определения $D_f,D_g$.
Определение 1: скажем, что равенство $f(x)=g(x)$ выполняется тождественно на множестве $S\subset D_f\cap D_g$ если оно верно для любого $x\in S$
Определение 2: скажем, что равенство $f(x)=g(x)$ выполняется тождественно если оно верно для любого $x\in D_f\cap D_g$

Neznajka_ в сообщении #1642899 писал(а):

Равенство $x + x = 4$ можно назвать тождеством, но на множестве всего из одного числа,

да, можно, в соответствие с 1 определением. (если то, что стоит слева и справа считать функциями на $\mathbb{R}$)
и равенство $x=2$ не является тождеством в соотвемствие со вторым определением.
Это математика.
Вопросы типа: <<а вот в одном учебнике так, а в другом эдак и чо?>> -- это не математика..

[Neznajka_]

drzewo в сообщении #1642991 писал(а):

Дадим определение. Пусть есть две функции $f,g$ с областями определения $D_f,D_g$.
Определение: скажем, что равенство $f(x)=g(x)$ выполняется тождественно на множестве $S\subset D_f\cap D_g$ если оно верно для любого $x\in S$

Neznajka_ в сообщении #1642899 писал(а):

Равенство $x + x = 4$ можно назвать тождеством, но на множестве всего из одного числа,

да, можно, в соответствие с данным определением. (если то, что стоит слева и справа считать функциями на $\mathbb{R}$)

Хорошо, спасибо.

drzewo в сообщении #1642991 писал(а):

Это математика.
Вопросы типа: <<а вот в одном учебнике так, а в другом эдак и чо?>> -- это не математика..

Вы слишком строги, и судите по своему уровню. Многим периодически требуется подтверждение вроде бы логичного.
Если только в одном школьном учебнике так, а во всех других найденных школьных иначе, то это реально может смутить того, чьи знания в общем пока еще ограничены школьным уровнем.

[drzewo]

я там добавил

[warlock66613]

Neznajka_ в сообщении #1642899 писал(а):

Или я не прав?

Всё зависит от принятых определений. Если пользоваться определением из вашего учебника — вы правы, если определением из других учебников — нет. Определения бывают разными. Главное внимательно следить где какое определение используется, вот и весь секрет.

[Neznajka_]

warlock66613 в сообщении #1643005 писал(а):

Neznajka_ в сообщении #1642899 писал(а):

Или я не прав?

Всё зависит от принятых определений. Если пользоваться определением из вашего учебника — вы правы, если определением из других учебников — нет. Определения бывают разными. Главное внимательно следить где какое определение используется, вот и весь секрет.

Но понятие "тождества" в математике ведь одно, несмотря на множество различных определений? Или их таки несколько, ну скажем, "тождество" и "тождество на области определения" - это разные понятия?
Если одно, то разные учебники просто более или менее полно его определяют. Если несколько, то в двух разных учебниках может говориться о двух разных "тождествах". Ко мне стали закрадываться подозрения, что и такое не исключено, поэтому и спросил здесь.

[Mikhail_K]

Neznajka_ в сообщении #1643006 писал(а):

Если несколько, то в двух разных учебниках может говориться о двух разных "тождествах". Ко мне стали закрадываться подозрения, что и такое не исключено

Не исключено.

Таких примеров вообще довольно много. Является ли $0$ натуральным числом? В одних учебниках да, в других нет. Чему равно $0^0$? В одних учебниках это число не определено, в других оно равно $1$. Что такое окрестность точки в топологическом пространстве? В одних учебниках это открытое множество, содержащее данную точку, в других - множество, подмножеством которого является открытое множество, содержащее данную точку. Что такое гильбертово пространство? В одних учебниках в это понятие включается бесконечномерность и/или сепарабельность, в других нет. Это не значит, что кто-то прав, а кто-то ошибается. Просто бывают разные определения (и, соответственно, разные понятия) натурального числа, окрестности точки и т.д. Это не очень хорошо, но вполне возможно уловить, что каждый конкретный автор имеет в виду.

[Neznajka_]

Mikhail_K
Хм, ну насчёт нуля во всех мною виденных школьных учебниках консенсус.
Но идею уловил...