Параметр с Ларина

[Cheloveck]

$$\left\{ \begin{array}{rcl} y=a(x-3) \\ \frac{1}{\log_{x}(2)}+\frac{1}{\log_{y}(2)}=1 \\ \end{array} \right.$$

Необходимо найти все a при которых система не имеет решения.Моя идея поиск аналитически всех a при которых система имеет решение и потом просто исключение этих чисел из всей числовой прямой.
ОДЗ:$\left\{ \begin{array}{rcl} y>0 \\ x>0 \\ x\ne 1 \\ y\ne 1 \\ \end{array} \right.$
Преобразуем с учётом ОДЗ второе уравнение системы:$\frac{1}{\log_{x}(2)}+\frac{1}{\log_{y}(2)}=\log_{2}(x)+\log_{2}(y)=\log_{2}(xy)=\log_{2}(2)=$

[svv]

(Cheloveck)

Пожалуйста, не пишите таким большим шрифтом. Это нарушение Правил форума (пункт I-1, н).

[Mihr]

Cheloveck,
эта задача весьма просто решается графически. Попробуйте.

[Cheloveck]

Извиняюсь,я случайно отправил сообщение раньше чем его дописал,а как его дописал,то не смог больше редактировать,писал медленно так как с телефона.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} y=a(x-3) \\ \frac{1}{\log_{x}(2)}+\frac{1}{\log_{y}(2)}=1 \\ \end{array} \right.$$

Необходимо найти все a при которых система не имеет решения.Моя идея поиск аналитически всех a при которых система имеет решение и потом просто исключение этих чисел из всей числовой прямой.
ОДЗ:$\left\{ \begin{array}{rcl} y>0 \\ x>0 \\ x\ne 1 \\ y\ne 1 \\ \end{array} \right.$
Преобразуем с учётом ОДЗ второе уравнение системы:$\frac{1}{\log_{x}(2)}+\frac{1}{\log_{y}(2)}=\log_{2}(x)+\log_{2}(y)=\log_{2}(xy)=\log_{2}(2)=$
Далее подставим y во второе уравнение системы и преобразуем его с учётом ОДЗ:$\log_{2}(ax(x-3))=\log_{2}(2)\Leftrightarrow ax(x-3)=2\Leftrightarrow ax^2-3ax-2=0$
Теперь получив квадратный трёхчлен начнём работать с ОДЗ: $\left\{ \begin{array}{rcl} y>0 \\ x>0 \\ x\ne 1 \\ y\ne 1 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} a(x-3)>0 \\ x>0 \\ x\ne 1 \\ a(x-3)\ne 1 \\ \end{array} \right. $
Найдём значения параметра которые не соответствуют предпоследнему уравнению ОДЗ подставив значение x=1 в квадратный трёхчлен:$a\cdot 1^2-3a\cdot 1 -2=-2a-2=1\Leftrightarrow a=-1$
Далее выразим х из последнего уравнения ОДЗ:$a(x-3)\ne 1\Leftrightarrow x\ne \frac{1-3a}{a}$
Подставим его в квадратный трёхчлен и найдём значения параметра при которых 4 уравнение не выполнено:$a(\frac{(1-3a)^2}{a^2})-3a(\frac{1-3a}{a})-2=0\Leftrightarrow a=1/9,a=1/2$
Рассмотрим случай a=0 когда квадратное уравнение обращается в линейное:$a\cdot 0^2-3a\cdot 0 -2=0\Leftrightarrow -2=0$
Корней нету,значит и вся система не будет иметь корни,можно сразу писать a=0 в ответ.
Итак мы разобрали все единичные случаи и нашли значения параметра при которых нарушаются условия последних двух уравнений ОДЗ и также одно значения параметра которое нас устраивает.
Нам осталось рассмотреть:$\left\{ \begin{array}{rcl} ax^2-3ax-2=0 \\ a(x-3)>0 \\ x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} ax^2-3ax-2=0 \\ x>3 \\ x>0 \\ a>0 \\ \end{array} \right. ; \left\{ \begin{array}{rcl} ax^2-3ax-2=0 \\ x<3 \\ x>0 \\ a<0 \\ \end{array} \right. $
Получили совокупность двух систем.В одном случае парабола с ветвями в вверх,а в другом вниз.Для нахождения оставшихся значений a используем метод подвижной параболы(расположение корней квадратного трехчлена):
Заметим что вершина параболы всегда равна $-\frac{-3a}{2a}=1,5$
фактически ось параболы лежит на вертикальной прямой x=1,5.В первой системе нам нужно чтобы хотя бы один корень лежал правее 3 т.е x>3)Рассматривая различные параболы на плоскости замечаем необходимое и достаточное условие того чтобы у первой системы был хотя бы 1 корень.
Условие:$f(x)=f(3)<0,где f(x)=ax^2-3ax-2$
Но находя f(3) получаем:$a\cdot 3^2-3a\cdot 3-2=-2$
Получается:-2<0,что всегда верно
Значит любой a>0 будет давать хотя бы один корень
Точно также аналогично анализируя вторую систему получаем другое условие которое выражается в условие вида -2<0 и тогда уже все a<0 дают хотя бы один корень.
Где была ошибка в моих рассуждениях или расчётах ? Я знаю что если решать графически,то это быстрее и нагляднее,но меня интересует данный способ решения.

-- 16.06.2024, 23:53 --

svv
Хорошо,приму к сведению,давно не обращался к обитателям форума за помощью

[svv]

Будьте уверены — мы вас отлично слышим, даже приходится немного прикрывать уши руками

[Cheloveck]

svv
Я не понял что вы имеете в виду.Кроме этого,раз уж вы в теме,то не могли бы помочь разобраться с решением ?

-- 17.06.2024, 00:57 --

Mihr
Я знаю,но меня интересует в данном случае аналитический способ решения задачи

[мат-ламер]

Cheloveck в сообщении #1642939 писал(а):

Точно также аналогично анализируя вторую систему получаем другое условие которое выражается в условие вида -2<0

Вот тут по тщательнее бы надо. Там вполне конкретный интервал для $a$ получается.

-- Вс июн 16, 2024 18:10:12 --

Cheloveck в сообщении #1642939 писал(а):

Я знаю что если решать графически,то это быстрее и нагляднее,но меня интересует данный способ решения.

Тем не менее, прикинув решение графически хотя-бы приблизительно, проще затем ошибку найти.

[svv]

(Cheloveck)

Cheloveck в сообщении #1642959 писал(а):

Я не понял что вы имеете в виду.

Ок, объясню

Cheloveck в сообщении #1642939 писал(а):

Теперь получив квадратный трёхчлен начнём работать с ОДЗ

Это субъективно воспринимается как сказанное спокойным голосом.

Cheloveck в сообщении #1642939 писал(а):

Необходимо найти все a при которых система не имеет решения.Моя идея поиск аналитически всех a при которых система имеет решение и потом просто исключение этих чисел из всей числовой прямой.

Это уже сказано повышенным голосом.

Cheloveck в сообщении #1642939 писал(а):

Извиняюсь,я случайно отправил сообщение раньше чем его дописал,а как его дописал,то не смог больше редактировать,писал медленно так как с телефона.

А это — крик. Приходится прикрывать уши, чтобы не оглохнуть.

[Mihr]

Cheloveck в сообщении #1642939 писал(а):

все a<0 дают хотя бы один корень

Что можно сказать про дискриминант квадратного уравнения $ax^2-3ax-2=0$? Вы уверены, что он положителен при всех отрицательных $a$? Проверьте этот момент.

-- 17.06.2024, 10:15 --

Рассмотрите ещё отдельно случай $a=-1$. Найдите возможные значения $x, y$ для этого случая.

[Cheloveck]

Mihr
Вот спасибо,я забыл условие неотрицательность дискриминанта для случая со второй параболой,оно то и даёт нужный интервал,но вопрос не исчерпан,по поводу a=-1 я уже понял что оно нам подходит и написал это в своих попытках решения выше,но только вот я также получил ещё a=1/9 и a=1/2 как те значения когда ОДЗ не выполнено,а значит корней нету,только вот ответ формируется из интервала который даёт условие неположительность дискриминанта и ещё a=-1,но значения a=1/9 и a=1/2 не включаются,почему ?

[Mihr]

Cheloveck, мне сложно ответить на Ваш вопрос. Вы пишете:

Cheloveck в сообщении #1642939 писал(а):

Подставим его в квадратный трёхчлен и найдём значения параметра при которых 4 уравнение не выполнено:

При этом: где само уравнение (4) - совершенно непонятно.
На самом деле при всех положительных $a$ решения есть. У квадратного уравнения два корня, и там, где один из них не попадает в ОДЗ, попадает второй. Возможно, дело именно в этом. Может, ещё в чём-то. Извините, Ваше решение очень путаное. Или, может, оно и нормальное, но изложено настолько путано, что не хочется в нём разбираться. Лучше попробуйте перерешать ещё раз.
К сожалению, Вы "не ищете лёгких путей": идёте самым нерациональным Может, для тренировки оно и хорошо, но ведь в этом случае и ошибиться проще всего. Простейшее решение здесь - графическое. Можно решать и аналитически, конечно, но лучше всё же не так ужасно, как это делаете Вы. Можем попробовать решить задачу вместе: хоть графически, хоть аналитически. С условием, что Вы не будете стараться делать всё по-своему

[мат-ламер]

Cheloveck в сообщении #1643176 писал(а):

но вопрос не исчерпан,по поводу a=-1 я уже понял что оно нам подходит

Сколько корней имеет система: $y=3-x$ , $xy=2$ ? ( у нас $x,y>0$ и $x\ne 1$ и $y\ne 1$). Тут вроде просто. Подставил и посмотрел.

-- Вт июн 18, 2024 14:40:48 --

Cheloveck в сообщении #1642939 писал(а):

Значит любой a>0 будет давать хотя бы один корень

Хорошо. Но есть нюанс (ОДЗ).

Cheloveck в сообщении #1643176 писал(а):

но только вот я также получил ещё a=1/9 и a=1/2 как те значения когда ОДЗ не выполнено,а значит корней нету

Ну, подставили в нашу систему. Если получили что $x=1$ либо $y=1$ , так и нет корней.

[Cheloveck]

Mihr
Спасибо за подробные рассуждения.

Цитата:

При этом: где само уравнение (4) - совершенно непонятно.
На самом деле при всех положительных $a$ решения есть. У квадратного уравнения два корня, и там, где один из них не попадает в ОДЗ, попадает второй.

Да,я сейчас подставил эти два значения параметра(a=1/9 и a=1/2) в исходное уравнения и одна пара решений не удовлетворяет ОДЗ,а другая удовлетворяет.Но про роль этого уравнения мне бы хотелось услышать подробнее так как это даст мне понимания почему же так вышло.Ну вроде на примитивном уровне я могу прикинуть что-то вроде вот тут у нас уравнение квадратное относительно х,а ограничения получены из линейного уравнения на х и проверяют лишь какой-то один из корней,но ведь это не является формальным объяснением почему это условие не является достаточным для того чтобы сказать,что система система при таких вот значений параметра не имеет решения ?

Цитата:

Ваше решение очень путаное. Или, может, оно и нормальное, но изложено настолько путано, что не хочется в нём разбираться. Лучше попробуйте перерешать ещё раз.
К сожалению, Вы "не ищете лёгких путей": идёте самым нерациональным Может, для тренировки оно и хорошо, но ведь в этом случае и ошибиться проще всего.

Да,вы правы,я и сам запутываюсь в таких моментах,а иду таким путём именно для тренировки аналитического способа решения там где он может быть не выгодным и у меня порой случаются подобные затыки в задачах где анализировать нужно несколько квадратных трехчленов на значения параметра

Цитата:

Можем попробовать решить задачу вместе: хоть графически, хоть аналитически. С условием, что Вы не будете стараться делать всё по-своему

Если вы предложите другое аналитическое решение,то я буду благодарен и попробую рассмотреть его тоже детально,но главным для меня все равно будет этот способ решения так как в нем больше всего вопросов.

-- 19.06.2024, 02:30 --

мат-ламер
Спасибо вам тоже за вопросы,они помогли мне понять что тут все ещё непонятнее.

Цитата:

Сколько корней имеет система: $y=3-x$ , $xy=2$ ? ( у нас $x,y>0$ и $x\ne 1$ и $y\ne 1$). Тут вроде просто. Подставил и посмотрел.

Странный момент для меня,имеет то ноль решений,обе пары не попадают в ОДЗ,причём в одной x=1,а в другой y=1,напрашивается вопрос если немного поменять числа,то не давало ли гарантий бы уравнение на y=1,а только x=1 было бы выполнено.Кстати случае с a=1/2 и a=1/9 там только одна пара попадает,похоже тут у 3 и 4 уравнения в ОДЗ есть своя разница

Цитата:

Ну, подставили в нашу систему. Если получили что $x=1$ либо $y=1$ , так и нет корней.

Тут тоже странновато,так как подставляю и получаю по одной паре решений,другая не попадает в ОДЗ,но это уже было сказано выше,странно то что они не попадают так как x и y становятся меньше нуля,судя по тому,что уравнение 4 это просто условие $y\ne 1$ через x и параметр,то не совсем понятно почему при подстановке a=1/2 и a=1/9 найденого из 4 уравнения не возникает y=1,т.е почему не нарушается условие для нарушения которого мы же и нашли значения параметра.Более того как отмечал выше почему это условие вообще не является достаточным,другими словами почему нельзя сказать вот при таких-то параметрах найденых решений не будет,обе пары не пропадут в ОДЗ,объяснить это можно только ли исходя из того что уравнение 4 в ОДЗ линейное,а работаем мы с квадратным трехчленом или тут что-то большее ?

[Mihr]

Cheloveck в сообщении #1643198 писал(а):

Если вы предложите другое аналитическое решение,то я буду благодарен и попробую рассмотреть его тоже детально

Я Вам предложу всё оформить более просто и прозрачно. Скорее всего, решение окажется не таким уж "другим", просто мы постараемся меньше лавировать. Хорошо? И тогда у нас будет меньше шансов запутаться.
Вот только я писать решение не стану Писать его будете Вы. А я буду лишь одёргивать Вас, если вдруг начнёте вилять. Хорошо?

Итак, если согласны, первый шаг. Условие переписывать не будем. Сразу упростим его. Первое уравнение (то, которое с параметром) перепишем без изменений. Второе максимально упростим: заменим его одним весьма коротким уравнением и четырьмя неравенствами, выражающими ОДЗ (неравенства пишем на том основании, что каждая из переменных $x, y$ положительна и отлична от единицы). Вместе с первым уравнением (тем, что с параметром) мы получим систему из шести условий: двух уравнений и четырёх неравенств. Пожалуйста, выпишите все эти условия в виде единой системы. В этом будет состоять первый шаг решения.

Второй шаг решения состоит в том, что мы подставляем значение $y$ из первого уравнения во второе, и то, что при этом получилось, приводим к привычному нам виду (записываем как обычное квадратное уравнение, правда, с параметром). Запишите всё это здесь, после этого обсудим, что делать дальше.

[мат-ламер]

Cheloveck в сообщении #1643198 писал(а):

Странный момент для меня,имеет то ноль решений,обе пары не попадают в ОДЗ,причём в одной x=1,а в другой y=1,напрашивается вопрос если немного поменять числа,то не давало ли гарантий бы уравнение на y=1,а только x=1 было бы выполнено.Кстати случае с a=1/2 и a=1/9 там только одна пара попадает,похоже тут у 3 и 4 уравнения в ОДЗ есть своя разница

Извините, вы слишком сложно выражаете свои мысли для моего восприятия. Поскольку я их не понимаю, я пока выйду из темы.