2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Емкость конденсатора с линейно изменяющимся диэлектриком
Сообщение13.06.2024, 15:05 
Аватара пользователя


24/09/18
40
Воронеж
Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен изотропным диэлектриком, проницаемость $\varepsilon$ которого изменяется в перпендикулярном к обкладкам направлении по линейному закону от $\varepsilon_1$ до $\varepsilon_2$. Площадь каждой обкладки $S$, расстояние между ними $d$. Найти емкость конденсатора.

Решение этой задачи я нашёл, выглядит оно следующим образом:
$\varepsilon = x \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d} + \varepsilon_1$

$d\varepsilon = x \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d}dx$

$U = \int{Edx} = \int{\frac{qd}{S\varepsilon \varepsilon_0 (\varepsilon_2 - \varepsilon_1)} d\varepsilon} $

Далее по формуле $U = \frac{q}{U}$ считается интеграл.

Однако мне не понятно почему в третьей формуле принимается, что $E = \frac{q}{S\varepsilon \varepsilon_0 (\varepsilon_2 - \varepsilon_1)}$. Она характеризует значения электрического поля [math]E[\math] вдоль слоя [math]dx[\math]? Если так, то если применить теорему Гаусса к полю между пластинами, то получается, что в объеме между пластинами будет заряд, потому что поток через поверхность будет ненулевой. Однако все это неверно. В чем ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Емкость конденсатора с линейно изменяющимся диэлектриком
Сообщение13.06.2024, 15:34 
Заслуженный участник


23/05/19
1147
Rooftrellen в сообщении #1642488 писал(а):
$E = \frac{q}{S\varepsilon \varepsilon_0 (\varepsilon_2 - \varepsilon_1)}$. Она характеризует значения электрического поля $E$ вдоль слоя $dx$?

Она характеризует поле в точке, в которой диэлектрическая проницаемость равна $\varepsilon$.

Rooftrellen в сообщении #1642488 писал(а):
если применить теорему Гаусса к полю между пластинами, то получается, что в объеме между пластинами будет заряд, потому что поток через поверхность будет ненулевой. Однако все это неверно.

Почему неверно? В диэлектрике будет объемный поляризационный заряд, все правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Емкость конденсатора с линейно изменяющимся диэлектриком
Сообщение13.06.2024, 15:42 


30/01/18
632
Rooftrellen в сообщении #1642488 писал(а):
Если так, то если применить теорему Гаусса к полю между пластинами, то получается, что в объеме между пластинами будет заряд, потому что поток через поверхность будет ненулевой. Однако все это неверно. В чем ошибка?
Rooftrellen, закон Гаусса не про напряжённость электрического поля $[\text{В/м}]$. Он про электрическую индукцию $[\text{Кл/м}^2]$. Ни какого нарушения закона Гаусса нет. И свободного заряда между пластинами нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Емкость конденсатора с линейно изменяющимся диэлектриком
Сообщение13.06.2024, 16:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Dedekind в сообщении #1642492 писал(а):
В диэлектрике будет объемный поляризационный заряд, все правильно.
+100
Есть даже формула: объёмная плотность поляризационных зарядов равна $-\operatorname{div}\mathbf P$, где $\mathbf P$ — вектор поляризованности. Когда связанные заряды под действием поля смещаются всюду одинаково, эта плотность внутри диэлектрика остаётся нулевой. Заряд появляется только там, где поляризация неоднородна.
Почему-то эта формула встречается в литературе редко, непропорционально своей теоретической важности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Емкость конденсатора с линейно изменяющимся диэлектриком
Сообщение13.06.2024, 16:48 
Заслуженный участник


23/05/19
1147
rascas в сообщении #1642493 писал(а):
закон Гаусса не про напряжённость электрического поля $[\text{В/м}]$. Он про электрическую индукцию $[\text{Кл/м}^2]$

Почему же? И про то, и про другое. Просто в первом случае нужно брать полный заряд, а во втором - только свободный. Ну и множитель $1/\varepsilon_0$ исчезает во втором случае. Плюс, есть закон Гаусса про поляризацию, который написал svv. Там нужно брать только связанный заряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Емкость конденсатора с линейно изменяющимся диэлектриком
Сообщение13.06.2024, 17:41 


30/01/18
632
Dedekind в сообщении #1642498 писал(а):
Почему же? И про то, и про другое.
Закон Гаусса это одно из уравнений Максвелла. И это уравнение записано именно для Электрической индукции. И эти уравнения искажать не надо.
Подмена Электрической индукции на Напряжённость электрического поля ошибочное действие. Это совершенно разные поля.
Электрическую индукцию и Напряжённость отождествлять между собой это примерно также как говорить, что ток и напряжение это одно и тоже только отличаются на величину $R$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Емкость конденсатора с линейно изменяющимся диэлектриком
Сообщение13.06.2024, 17:52 
Заслуженный участник


23/05/19
1147
rascas в сообщении #1642501 писал(а):
Это совершенно разные поля.

А я и не говорил, что они одинаковые. Где Вы такое нашли? Я сказал, что для каждого из них можна записать закон Гаусса в виде: "интеграл от поля по замкнутой поверхности равен суммарному заряду внутри поверхности". Просто в одном случае этот заряд будет полный, в другом - только свободный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Емкость конденсатора с линейно изменяющимся диэлектриком
Сообщение14.06.2024, 02:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
Rooftrellen в сообщении #1642488 писал(а):
Решение этой задачи я нашёл, выглядит оно следующим образом:
$\varepsilon = x \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d} + \varepsilon_1$
$d\varepsilon = x \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d}dx$
$U = \int{Edx} = \int{\frac{qd}{S\varepsilon \varepsilon_0 (\varepsilon_2 - \varepsilon_1)} d\varepsilon} $
Чего-то Вы не то нашли. Я, извините, пользуюсь СГС единицами.
$$\begin{align}
D&=\varepsilon E=4\pi\sigma\\
d\varepsilon&=\frac{\varepsilon_2-\varepsilon_1}{d}dx\Rightarrow dx=\frac{d}{\varepsilon_2-\varepsilon_1}d\varepsilon\\
U&=\int\limits_{0}^{d}Edx=\int\limits_{\varepsilon_1}^{\varepsilon_2}\frac{4\pi\sigma}{\varepsilon}\frac{d}{\varepsilon_2-\varepsilon_1}d\varepsilon
\end{align}$$
Дальше - сами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group