Емкость конденсатора с линейно изменяющимся диэлектриком

[Rooftrellen]

Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен изотропным диэлектриком, проницаемость $\varepsilon$ которого изменяется в перпендикулярном к обкладкам направлении по линейному закону от $\varepsilon_1$ до $\varepsilon_2$. Площадь каждой обкладки $S$, расстояние между ними $d$. Найти емкость конденсатора.

Решение этой задачи я нашёл, выглядит оно следующим образом:
$\varepsilon = x \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d} + \varepsilon_1$

$d\varepsilon = x \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d}dx$

$U = \int{Edx} = \int{\frac{qd}{S\varepsilon \varepsilon_0 (\varepsilon_2 - \varepsilon_1)} d\varepsilon} $

Далее по формуле $U = \frac{q}{U}$ считается интеграл.

Однако мне не понятно почему в третьей формуле принимается, что $E = \frac{q}{S\varepsilon \varepsilon_0 (\varepsilon_2 - \varepsilon_1)}$. Она характеризует значения электрического поля [math]E[\math] вдоль слоя [math]dx[\math]? Если так, то если применить теорему Гаусса к полю между пластинами, то получается, что в объеме между пластинами будет заряд, потому что поток через поверхность будет ненулевой. Однако все это неверно. В чем ошибка?

[Dedekind]

Rooftrellen в сообщении #1642488 писал(а):

$E = \frac{q}{S\varepsilon \varepsilon_0 (\varepsilon_2 - \varepsilon_1)}$. Она характеризует значения электрического поля $E$ вдоль слоя $dx$?

Она характеризует поле в точке, в которой диэлектрическая проницаемость равна $\varepsilon$.

Rooftrellen в сообщении #1642488 писал(а):

если применить теорему Гаусса к полю между пластинами, то получается, что в объеме между пластинами будет заряд, потому что поток через поверхность будет ненулевой. Однако все это неверно.

Почему неверно? В диэлектрике будет объемный поляризационный заряд, все правильно.

[rascas]

Rooftrellen в сообщении #1642488 писал(а):

Если так, то если применить теорему Гаусса к полю между пластинами, то получается, что в объеме между пластинами будет заряд, потому что поток через поверхность будет ненулевой. Однако все это неверно. В чем ошибка?

Rooftrellen, закон Гаусса не про напряжённость электрического поля $[\text{В/м}]$. Он про электрическую индукцию $[\text{Кл/м}^2]$. Ни какого нарушения закона Гаусса нет. И свободного заряда между пластинами нет.

[svv]

Dedekind в сообщении #1642492 писал(а):

В диэлектрике будет объемный поляризационный заряд, все правильно.

+100
Есть даже формула: объёмная плотность поляризационных зарядов равна $-\operatorname{div}\mathbf P$, где $\mathbf P$ — вектор поляризованности. Когда связанные заряды под действием поля смещаются всюду одинаково, эта плотность внутри диэлектрика остаётся нулевой. Заряд появляется только там, где поляризация неоднородна.
Почему-то эта формула встречается в литературе редко, непропорционально своей теоретической важности.

[Dedekind]

rascas в сообщении #1642493 писал(а):

закон Гаусса не про напряжённость электрического поля $[\text{В/м}]$. Он про электрическую индукцию $[\text{Кл/м}^2]$

Почему же? И про то, и про другое. Просто в первом случае нужно брать полный заряд, а во втором - только свободный. Ну и множитель $1/\varepsilon_0$ исчезает во втором случае. Плюс, есть закон Гаусса про поляризацию, который написал svv. Там нужно брать только связанный заряд.

[rascas]

Dedekind в сообщении #1642498 писал(а):

Почему же? И про то, и про другое.

Закон Гаусса это одно из уравнений Максвелла. И это уравнение записано именно для Электрической индукции. И эти уравнения искажать не надо.
Подмена Электрической индукции на Напряжённость электрического поля ошибочное действие. Это совершенно разные поля.
Электрическую индукцию и Напряжённость отождествлять между собой это примерно также как говорить, что ток и напряжение это одно и тоже только отличаются на величину $R$.

[Dedekind]

rascas в сообщении #1642501 писал(а):

Это совершенно разные поля.

А я и не говорил, что они одинаковые. Где Вы такое нашли? Я сказал, что для каждого из них можна записать закон Гаусса в виде: "интеграл от поля по замкнутой поверхности равен суммарному заряду внутри поверхности". Просто в одном случае этот заряд будет полный, в другом - только свободный.

[amon]

Rooftrellen в сообщении #1642488 писал(а):

Решение этой задачи я нашёл, выглядит оно следующим образом:
$\varepsilon = x \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d} + \varepsilon_1$
$d\varepsilon = x \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d}dx$
$U = \int{Edx} = \int{\frac{qd}{S\varepsilon \varepsilon_0 (\varepsilon_2 - \varepsilon_1)} d\varepsilon} $

Чего-то Вы не то нашли. Я, извините, пользуюсь СГС единицами.

$$\begin{align} D&=\varepsilon E=4\pi\sigma\\ d\varepsilon&=\frac{\varepsilon_2-\varepsilon_1}{d}dx\Rightarrow dx=\frac{d}{\varepsilon_2-\varepsilon_1}d\varepsilon\\ U&=\int\limits_{0}^{d}Edx=\int\limits_{\varepsilon_1}^{\varepsilon_2}\frac{4\pi\sigma}{\varepsilon}\frac{d}{\varepsilon_2-\varepsilon_1}d\varepsilon \end{align}$$

Дальше - сами.