Rak so dna, опять поторопилась и наошибалась. Но я упрямая.
1.1. Пусть
![$x^3+y^3=vk^3c^3$ $x^3+y^3=vk^3c^3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/3/d3303d4e4b9ffc173b5798c618367ac982.png)
, где
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
- целое положительное число.
![$x^2+y^2=vk^2c^2+p$ $x^2+y^2=vk^2c^2+p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/8/a8806570fb1314126df42906108a3fcb82.png)
,
![$x+y=vkc+d$ $x+y=vkc+d$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/5/735c877eaab2dc6ba2cfcfe082eff1b782.png)
где
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
и
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
- целые положительные числа такие, что при существовании решения уравнения Ферма в целых числах
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
, система имеет решение
![$a^3+b^3=c^3$ $a^3+b^3=c^3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/6/fd6fba75527b1203b6cc0aabd04dc1be82.png)
![$a^2+b^2=c^2+p$ $a^2+b^2=c^2+p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/9/8698bb7d3057457b875b20e3b1103eba82.png)
![$a+b=c+d$ $a+b=c+d$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/9/5d9a26ea8661ee745c8e215c7bc6f53d82.png)
(
![$k=1$ $k=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/b/7eb22be4bf74527b54b6d6093847814782.png)
,
![$v=1$ $v=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/6/2265c5867c13375cc805765f3de637ee82.png)
)
1.2.
![$x+y-vkc=d$ $x+y-vkc=d$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/d/09d4f1031046ca989f4329092b3e5a6482.png)
,
![$x^2+y^2-vk^2c^2=p$ $x^2+y^2-vk^2c^2=p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/4/da45024ee70cdaca4a7cc01b45f1f45b82.png)
Перемножаем левые и правые части, получаем:
![$px+py-vkpc=x^2d+y^2d-vk^2c^2d$ $px+py-vkpc=x^2d+y^2d-vk^2c^2d$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/6/0165355d18b5173510ac280fed21eab482.png)
,
1.3.
![$x(xd-p)+y(yd-p)=vkc(kcd-p)$ $x(xd-p)+y(yd-p)=vkc(kcd-p)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/7/bb766601f4fe3a7eb067e4e613f00b7082.png)
,
![$x^3+y^3=vk^3c^3$ $x^3+y^3=vk^3c^3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/3/d3303d4e4b9ffc173b5798c618367ac982.png)
(п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:
![$k^3c^{3}x(xd-p)+k^3c^{3}y(yd-p)=x^{3}kc(kcd-p)+y^{3}kc(kcd-p)$ $k^3c^{3}x(xd-p)+k^3c^{3}y(yd-p)=x^{3}kc(kcd-p)+y^{3}kc(kcd-p)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/4/3c414e563c5dadf0089f7aef41050bbc82.png)
, следовательно,
![$(kcd-p)x^{3}-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px=-((kcd-p)y^3-k^2c^{2}dy^2+k^2c^{2}py)$ $(kcd-p)x^{3}-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px=-((kcd-p)y^3-k^2c^{2}dy^2+k^2c^{2}py)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/8/268a8acd2bbfdfc9dee9c8d39e0343ef82.png)
.
2.1функция
![$y=(kcd-p)x^3-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px$ $y=(kcd-p)x^3-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/0/38047073648b11a80b5d8bef80ed863982.png)
в точках
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
, следовательно, между
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
существует точка ( назовем ее
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
, значение функции в которой равно
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
.
2.1.2 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.
![$(kcd-p)x^3-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px=0$ $(kcd-p)x^3-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/1/ea13327c7155833443e4c89705636ca182.png)
.
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
или
![$(kcd-p)x^2-k^2c^{2}dx+k^2c^{2}p=0$ $(kcd-p)x^2-k^2c^{2}dx+k^2c^{2}p=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/0/a30e155768bf0a9541476572b686a4e982.png)
![$D=k^4c^4d^2-4(kcd-p)k^2c^2p$ $D=k^4c^4d^2-4(kcd-p)k^2c^2p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/b/b2b64742735ed7c542a96851f8cfa66d82.png)
, отсюда
![$x=ck$ $x=ck$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/6/16601b6345b6ebf06d6288a227f2fb9282.png)
или
![$x=\frac{kcp}{kcd-p}$ $x=\frac{kcp}{kcd-p}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/7/767b14f53e753e23469d1faaa3cb06e682.png)
.
Поскольку
![$a<c$ $a<c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/f/b2fbbdc42d100675501b7f0e6619ab3c82.png)
,
![$b>0$ $b>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/2/a22dca7a3838034445d5ed9038d9963182.png)
,
![$h=\frac{kcp}{kcd-p}$ $h=\frac{kcp}{kcd-p}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/7/5d7d5282239a88b926f1abe7c73ae86682.png)
.
3.1.1 поскольку
функция
![$y=(kcd-p)x^3-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px$ $y=(kcd-p)x^3-k^2c^{2}dx^2+k^2c^{2}px$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/0/38047073648b11a80b5d8bef80ed863982.png)
является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует три точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения (
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
,
![$a_1$ $a_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e830a5ab471143f1bb80e525c09bbaa82.png)
и
![$a_2$ $a_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/a/2ca230a36892a5d996272ca45a782d1682.png)
) и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения (
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
,
![$b_1$ $b_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/d/a7d0e0605a6acafe642d0b54226ac65082.png)
и
![$b_2$ $b_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/5/8050505667919156622832a0c9b5671c82.png)
).
Эти числа действительные (поскольку если они они комплексные, это противоречит существованию рационального
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
между
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
.
3.1.2. Найдем все значения
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
при которых уравнение
![$(kcd-p)(x^3+y^3)-k^2c^{2}d(x^2+y^2)+k^2c^{2}p(x+y)=0$ $(kcd-p)(x^3+y^3)-k^2c^{2}d(x^2+y^2)+k^2c^{2}p(x+y)=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/e/b3ebd9cb8590b756178fbec19f3042ad82.png)
имеет решения:
![$(kcd-p) +k^2(a^2+b^2)-ck^2(a+b)=0$ $(kcd-p) +k^2(a^2+b^2)-ck^2(a+b)=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/e/5ce6568da5ab496dd81c66e56661f6a782.png)
![$k^2(cd-p)-kcd+p=0$ $k^2(cd-p)-kcd+p=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/0/5a0b9a8c568f52d0f0541fc446c98d9082.png)
![$D=c^2d^2-4p(cd-p)=(cd-2p)^2$ $D=c^2d^2-4p(cd-p)=(cd-2p)^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/d/d4d58e138f3f52fa22e2532797a2afc182.png)
![$k=\frac{cd\pm(cd-2p)}{2(cd-p)}$ $k=\frac{cd\pm(cd-2p)}{2(cd-p)}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/f/30fc822f24495721b5c35bf64ad752db82.png)
.
![$k=1$ $k=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/b/7eb22be4bf74527b54b6d6093847814782.png)
или
![$k=\frac{p}{cd-p}$ $k=\frac{p}{cd-p}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/0/2802433800070ceb0b21752150bb1a7b82.png)
.
Очевидно, что
![$k=\frac{cp}{cd-p}$ $k=\frac{cp}{cd-p}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/0/930e0574f8d3d8478da2b5dffdbe6ef782.png)
не будет решением системы уравнений при
![$x=a$ $x=a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/7/4d74936f278565f42f4bb42d6534712a82.png)
,
![$y=b$ $y=b$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/d/16d3496cee69cc98bc4a406f03a3fc6182.png)
.
Проверим, является ли
![$k=\frac{p}{cd-p}$ $k=\frac{p}{cd-p}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/0/2802433800070ceb0b21752150bb1a7b82.png)
решением системы уравнений при других
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
:
![$(kcd-p)vk^3c^3-k^2c^2((a^2+b^2)d-(a+b)p)=0$ $(kcd-p)vk^3c^3-k^2c^2((a^2+b^2)d-(a+b)p)=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/f/e5f92dc277415caec2cbc5497aad262282.png)
![$(kcd-p)vkc-((vk^2c^2+p)d+(vkc+d)p)=0$ $(kcd-p)vkc-((vk^2c^2+p)d+(vkc+d)p)=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/a/34af32e4303776a1a6b3e7fa14161c3d82.png)
![$kc(kcd-p)-kc(kcd-p)=0$ $kc(kcd-p)-kc(kcd-p)=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/8/a88e55cabd0db6b876b6ffd4b9e6f5a382.png)
верно.
Следовательно, существует как минимум одно решение системы при
![$k=\frac{p}{cd-p}$ $k=\frac{p}{cd-p}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/0/2802433800070ceb0b21752150bb1a7b82.png)
и
![$x=a_1$ $x=a_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/5/ca5970d4dd3a68a69aee5a2f8a4b59f282.png)
или
![$x=a_2$ $x=a_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/f/ebf3f80c874cb8720bd1a2146b47f48282.png)
,
![$у=b_1$ $у=b_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/e/9ae8d22d1c79d71194f55fd20f89125b82.png)
или
![$y=b_2$ $y=b_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/c/d0cced1216ff901ac50020dee61c755082.png)
.
Пока остановлюсь на этом. Проверю и тогда напишу концовку.
Дальше завтра распишу, проверю как следует.