Вопросы из элементарной топологий

[Bixel]

Цитата:

Проверьте $(\mathbb Q, l_0), (\mathbb R, \epsilon_0)$ на компактность, локальную компактность, последовательную компактность где $l_0$- included point topology, $\epsilon_0$- excluded point topology.

Мне кажется это будет как напечатано ниже. Правильно ли я понимаю эти понятия?

Последовательная компактность:

1. Пусть $G_i \in l_0.$ Возьмем $(x_n) \setminus \{0\} \in \mathbb Q$. Тогда любая последовательность $(x_{n_{k}}) \cup \{0\} \in G_i$.

Любая $(y_n) \cup \{0\}$ находится в $G_i$. Тогда $(y_{n_{k}}) \cup \{0\}$ тоже в $G_i$.
2. Поскольку $0 \not \in H_i \in \epsilon_0$, последовательности $(\frac 1n)$ некуда сходится.

Локальная компактность:

1. $\{0\} \in l_0$, но вокруг нуля нет компактного интервала поэтому пространство не может быть локально компактным.
2. Вокруг единцы $\in \{1\} \in \epsilon_0$ нет компактного интервала.

Компактность:

1. Пусть $\mathbb Q \subseteq \cup G_i$. Поскольку $0 \in \mathbb Q \in G_i$, можно сказать $\{\mathbb Q\}$ есть конечное подпокрытие.
2. Единственное множество $\in \epsilon_0$ которое может покрыть $\{0\}$ - это $\mathbb R$. Поэтому $\{\mathbb R\}$ - конечное подпокрытие?

[vpb]

Bixel в сообщении #1641594 писал(а):

последовательную компактность

По-русски это "секвенциальная компактность", как ни странно. That is, in this case "sequential compact" is transliterated, rather than translated. What is "included point topology" and "excluded point topology" ? (My area is algebra, not topology, so I am not very familiar with topology terminology). And, what book do you use ?

[mihaild]

Bixel в сообщении #1641594 писал(а):

Пусть $G_i \in l_0.$ Возьмем $(x_n) \setminus \{0\} \in \mathbb Q$. Тогда любая последовательность $(x_{n_{k}}) \cup \{0\} \in G_i$.

Тут что-то странное написано. Взяли какое-то открытое множество. Ну например $\{0, 1\}$. Взяли какую-то последовательность. Что значит $(x_n) \setminus \{0\} \in \mathbb Q$? Это значит, что $(x_n) \setminus \{0\}$ - рациональное число, но что это за такой странный объект, являющийся то ли рациональным числом, не содержащим нуля, то ли объединением рационального числа и нуля?

Bixel в сообщении #1641594 писал(а):

Тогда любая последовательность $(x_{n_{k}}) \cup \{0\} \in G_i$.

$G_i$ - множество точек, а не последовательностей.

Bixel в сообщении #1641594 писал(а):

Поскольку $0 \not \in H_i \in \epsilon_0$, последовательности $(\frac 1n)$ некуда сходится

А напишите определение сходимости к нулю в этом пространстве.
И что особенного в последовательности $\frac{1}{n}$, чем она существенно отличается от последовательности $n^2$?

Bixel в сообщении #1641594 писал(а):

но вокруг нуля нет компактного интервала

Есть, посмотрите внимательнее.

(Оффтоп)

Вообще написано столько всего странного, что, видимо, либо я не выспался, либо Вы, либо и то и другое.

[Bixel]

vpb в сообщении #1641595 писал(а):

What is "included point topology" and "excluded point topology" ? (My area is algebra, not topology, so I am not very familiar with topology terminology). And, what book do you use ?

If $X$ is any set and $p$ is an arbitrary point of $X$, then the collection $l_p = \{G \subseteq X : p \in G \text{ or } G = \varnothing\}$ is a topology on $X$, the included-point topology (based at $p$) there. The other one is defined similarly. The book in question is "Undergraduate Topology" by McCluskey and McMaster.

[vpb]

Bixel
Ok. I got this book, but I have to look into it, so I can not answer immediately.

[Bixel]

mihaild


$(x_n) \in (X, \tau)$ сходится к $l$ если для каждой окрестности $U$ лимита $l$ существует такое $n(U) \in \mathbb N$, что $n \ge n(U) \implies x_n \in U.$

$U$ открыто поэтому $U \in \tau.$ Любая рациональная последовательность содержащая $0$ должна находится в $G_i \in l_0.$ Такая последовательность должна сходится в $0$?

Множества вроде $\{0, 1\}, \mathbb N \cup \{0\}$ не рассматриваем потому, что они не являются окрестностью нуля?

[mihaild]

(Оффтоп)

I think wriging in English is better than in google-translated Russian:)

The question was about convergence to $0$ in $(\mathbb R, \varepsilon_0)$. As usually, sequence converges to $0$ if for any $U \in \varepsilon_0$ s.t. $0 \in U$, all but finitely many terms of sequence are in $U$. Can you simplify this, using that $\varepsilon_0$ isn't arbitrary, but some specific topology?

[Bixel]

mihaild в сообщении #1641601 писал(а):

The question was about convergence to $0$ in $(\mathbb R, \varepsilon_0)$. As usually, sequence converges to $0$ if for any $U \in \varpesilon_0$ s.t. $0 \in U$, all but finitely many terms of sequence are in $U$. Can you simplify this, using that $\varepsilon_0$ isn't arbitrary, but some specific topology?

Why would $(\frac 1n)$ not work as a counterexample? The sequence $(\frac 1n) \subset \mathbb R$ is in some $H_i \in \varepsilon_0.$ Unless $H_i = \mathbb R,$ it excludes $0$ and so $(\frac 1n)$ can't converge to $0$. Can't think of anything else.

[vpb]

I read first chapters of your textbook, and now I can discuss your question.

First of all, there are too few words in your solution, and it is difficult (in fact, impossible) to understand anything. For example,

Bixel в сообщении #1641594 писал(а):

Пусть $G_i \in l_0.$

what $G_i$ means here ? Is this an open set in topology $l_0$ ? If so, what is the role of the subscript $i$ ?
Next,

Bixel в сообщении #1641594 писал(а):

Возьмем $(x_n) \setminus \{0\} \in \mathbb Q$

What is the meaning of this formula at all ? $(x_n)$ usually means a sequence, $\setminus$ the sign of set difference, $\{0\}$ a set (of a single element $0$), but how can we subtract a set from a sequence ? And difference of two sets is a set, not a rational number, so we can not write "$\in{\mathbb Q}$" ... Probably you should try to write in a more classical style, not in a short manner like in "Expansion" sections of McCluskey.

[mihaild]

Bixel в сообщении #1641605 писал(а):

Why would $(\frac 1n)$ not work as a counterexample?

May be it would, may be it wouldn't, the question is how to prove it.

Bixel в сообщении #1641605 писал(а):

The sequence $(\frac 1n) \subset \mathbb R$ is in some $H_i \in \varepsilon_0.$

This is unclear. What exactly do you claim - that there is some open $H_i$ s.t. this sequence is in it? It's true (and true for any space), but not important.

Bixel в сообщении #1641605 писал(а):

Unless $H_i = \mathbb R,$ it excludes $0$

That's true and important.

Bixel в сообщении #1641605 писал(а):

so $(\frac 1n)$ can't converge to $0$

How does it follow from previous?

[Bixel]

vpb


$G_i$ is supposed to be in $l_0$ and $i$ is meant to stand for "one of". But I guess since the open sets are not ordered we could just the drop the indexing. By $\{x_n\} \setminus \{0\} \in \mathbb Q$ I meant to denote a rational sequence missing $0$. Maybe $\{x_n\} \cap \mathbb Q \setminus \{0\}$ would've worked better.

mihaild

By definition we want to find a natural $N$ s.t. for any $n \ge N$ we have $x_n \in U$ where $U$ is some arbitrary neighborhood of $0$. But for every $\varepsilon > 0, \mathbb R \ne U = X \setminus B(0, \varepsilon)$ and so there's no such $N$. Can we get any more explicit than that? If this is not what you had in mind, can you elaborate a bit more?

[mihaild]

Bixel в сообщении #1641686 писал(а):

By $\{x_n\} \setminus \{0\} \in \mathbb Q$ I meant to denote a rational sequence missing $0$

You can write this as $x_n \in \mathbb Q \setminus \{0\}$ or (worse) $\{x_n\} \subseteq \mathbb Q \setminus \{0\}$.

Bixel в сообщении #1641686 писал(а):

But for every $U = X \setminus B(0, \varepsilon)$

What is $X$?
And anyway, this set is not open in our topology.
If you want to prove $x_n \not \to 0$, you need to find an open set $U$ s.t. $0 \in U$, but infinitely many terms of $x_n$ are not in $U$. Can you find such set?

[Bixel]

mihaild в сообщении #1641695 писал(а):

What is $X$?

$X = \mathbb R.$

mihaild в сообщении #1641695 писал(а):

Can you find such set?

I am going to have to say no because $\mathbb R$ is the only open set containing $0$ and $(\frac 1n) \subset \mathbb R$ for all $n$. So it does look like $\frac 1n \to 0 \in \mathbb R$. Is it enough to say $\{\frac 1n\}$ converges to zero in $(\mathbb R, \varepsilon_0)$ just because $\mathbb R$ happens to be the only open set (other than $\varnothing$) in the entire space?

[mihaild]

Bixel в сообщении #1641700 писал(а):

Is it enough to say $\{\frac 1n\}$ converges to zero in $(\mathbb R, \varepsilon_0)$ just because $\mathbb R$ happens to be the only open set (other than $\varnothing$) in the entire space?

Not the only one, but the only one containing $0$.
Yes, it's enough. So, in $\varepsilon_0$, any sequence converges to $0$ (convergence in non-Hausdorff topology is strange).
What can we say now about sequential compactness of $(\mathbb R, \varepsilon_0)$?

The next question is about sequential compactness of $(\mathbb Q, l_0)$. Does it have the same property - that any sequence converges to $0$?

[Bixel]

mihaild в сообщении #1641702 писал(а):

So, in $\varepsilon_0$, any sequence converges to $0$

I am not clear on that. Does any $\{x_n\}$ converge to $0$ in $\varepsilon_0$ because $\mathbb R$ is an open neighborhood of $0$? If so, every $\{x_{n_k}\}$ also converges in $\varepsilon_0$ meaning $(\mathbb R, \varepsilon_0)$ is sequentially compact.

mihaild в сообщении #1641702 писал(а):

The next question is about sequential compactness of $(\mathbb Q, l_0)$. Does it have the same property - that any sequence converges to $0$?

Let $U$ be a neighborhood around $0$. Since $U \in l_0$ and $\{x_n\}$ is rational $\{x_n\} \subseteq U$ and so $\{x_n\}$ converges to $0$ with all its subsequences following suit?