Прекрасную теорему обнаружил в одной из недавних тем:
"Площадь квадрата, построенного на основании равнобедренного треугольника, равна удвоенному произведению длины основания на длину проекции боковой стороны на основание".
Не знаю, в шутку это было написано или нет, но это в принципе и не важно. Теорема потрясает своей отрицательной полезностью: усилия, направленные на чтение, осмысливание и запоминание этой теоремы превышают усилия, которые бы требовались на её перевывод как подзадачи в любой содержащей её задаче. Фактически, все что происходит в этой теореме - это равенство
![$x^2 = 2\crot (x \cdot \frac x2)$ $x^2 = 2\crot (x \cdot \frac x2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/e/7deb2ef44855f95971cb9635485e465e82.png)
. Поражает то, насколько слова естественного языка проигрывают математической нотации: то, что очень коротко и просто записывается на символах, при переводе в слова формирует совершенно дикую речевую конструкцию.
Противоположностью этой теореме можно привести, например, теорему синусов -
очень полезную теорему. Но что отличает первую от второй? Я вижу так, что отличие в алгебре: в первой теореме никакой алгебры нету, а во второй теореме (синусов) концентрация алгебры очень большая.
Мысль, которую я хотел бы обсудить в этой теме, заключается в том, что не все теоремы одинаково полезны. Более того, я постепенно прихожу к выводу, что огромное количество теорем (по моим ощущениям
![$> 50$ $> 50$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/e/6cee9e22b8d69631ff8ba825e4dc261982.png)
%) по сути играют довольно второстепенную роль.
Важны не теоремы. Важна техника! Теорема синусов - это техника; теорема, которая в шапке темы - это мертвый факт.
Еще один пример.
Цитата:
Предположим, что
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
— группа такая, что для некоторого
![$n \in N$ $n \in N$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/4/2945c40580846a4ccd2240cca5b26ad382.png)
и всех
![$x, y \in G$ $x, y \in G$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/3/3b3c5f3a3823f5a436e0342e51748fde82.png)
имеет место равенство
![$(xy)^n = x^n y^n$ $(xy)^n = x^n y^n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/d/ffd62382644b0b06a94f4a39a05aefdf82.png)
. Обозначим через
![$G^n = \{x^n | x \in G\}$ $G^n = \{x^n | x \in G\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/6/01640f57cc14fa78987e36a3ff1cec0b82.png)
подмножество всех n-х степеней в
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
, а через
![$G_n = \{x \in G | x^n = 1\}$ $G_n = \{x \in G | x^n = 1\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/3/913bba18c53d6881f11c1048196d9c8382.png)
— множество всех элементов из
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
, порядок которых делит
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
. Показать, что
![$G^n$ $G^n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/7/247f2a311b555ad764cb3b7b56d34fc682.png)
и
![$G_n$ $G_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/3/6334d9475707eec68c2ecea2d51f8a2882.png)
- нормальные подгруппы в
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
и
![$|G^n | = |G : G_n |$ $|G^n | = |G : G_n |$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/8/7d8d0d54ab6485ec51977a805cbaab3582.png)
Раньше я пытался доказывать теоремы вслепую и до победного. И вот, допустим, я бы прочитал эту теорему и стал бы её доказывать.
Теоремы о гомоморфизме пока еще не было! Сейчас я понимаю, что это было бы максимально глупым решением. Не надо эту теорему доказывать. Её вообще знать не надо. А вот теорему о гомоморфизме - надо.
Возвращаясь к основному вопросу темы. Я сейчас немного изучаю теорию групп и я поражен, насколько мало в ней техники. Результатов - пруд пруди. А техники не о чем. Мне интересно, почему столько людей плодит столько бесполезных фактов, но никто не хочет привести теорию в порядок. Теория групп - это просто ситуативный пример. Все написанное я считаю подходящим к большинству разделов математики из тех, которые мне довелось изучать. Забавно кстати, что в элементарной геометрии как раз таки техники много. Она - один из немногих разделов, к которому у меня в этом плане нету претензий.