Важное и второстепенное в математике

[EminentVictorians]

Прекрасную теорему обнаружил в одной из недавних тем:

gris в сообщении #1641260 писал(а):

"Площадь квадрата, построенного на основании равнобедренного треугольника, равна удвоенному произведению длины основания на длину проекции боковой стороны на основание".

Не знаю, в шутку это было написано или нет, но это в принципе и не важно. Теорема потрясает своей отрицательной полезностью: усилия, направленные на чтение, осмысливание и запоминание этой теоремы превышают усилия, которые бы требовались на её перевывод как подзадачи в любой содержащей её задаче. Фактически, все что происходит в этой теореме - это равенство $x^2 = 2\crot (x \cdot \frac x2)$. Поражает то, насколько слова естественного языка проигрывают математической нотации: то, что очень коротко и просто записывается на символах, при переводе в слова формирует совершенно дикую речевую конструкцию.

Противоположностью этой теореме можно привести, например, теорему синусов - очень полезную теорему. Но что отличает первую от второй? Я вижу так, что отличие в алгебре: в первой теореме никакой алгебры нету, а во второй теореме (синусов) концентрация алгебры очень большая.

Мысль, которую я хотел бы обсудить в этой теме, заключается в том, что не все теоремы одинаково полезны. Более того, я постепенно прихожу к выводу, что огромное количество теорем (по моим ощущениям $> 50$%) по сути играют довольно второстепенную роль. Важны не теоремы. Важна техника! Теорема синусов - это техника; теорема, которая в шапке темы - это мертвый факт.

Еще один пример.

Цитата:

Предположим, что $G$ — группа такая, что для некоторого $n \in N$ и всех $x, y \in G$ имеет место равенство $(xy)^n = x^n y^n$. Обозначим через $G^n = \{x^n | x \in G\}$ подмножество всех n-х степеней в $G$, а через $G_n = \{x \in G | x^n = 1\}$ — множество всех элементов из $G$, порядок которых делит $n$. Показать, что $G^n$ и $G_n$ - нормальные подгруппы в $G$ и $|G^n | = |G : G_n |$

Раньше я пытался доказывать теоремы вслепую и до победного. И вот, допустим, я бы прочитал эту теорему и стал бы её доказывать. Теоремы о гомоморфизме пока еще не было! Сейчас я понимаю, что это было бы максимально глупым решением. Не надо эту теорему доказывать. Её вообще знать не надо. А вот теорему о гомоморфизме - надо.

Возвращаясь к основному вопросу темы. Я сейчас немного изучаю теорию групп и я поражен, насколько мало в ней техники. Результатов - пруд пруди. А техники не о чем. Мне интересно, почему столько людей плодит столько бесполезных фактов, но никто не хочет привести теорию в порядок. Теория групп - это просто ситуативный пример. Все написанное я считаю подходящим к большинству разделов математики из тех, которые мне довелось изучать. Забавно кстати, что в элементарной геометрии как раз таки техники много. Она - один из немногих разделов, к которому у меня в этом плане нету претензий.

[Утундрий]

EminentVictorians в сообщении #1641460 писал(а):

Важны не теоремы. Важна техника!

Переформулирую это так. Все мы топчемся по одному ковру странно связанных друг с другом фактов. Поскольку ковёр не меняется, то фокус разумно перенести на топчущихся. Проделав сию процедуру, исследователь неизбежно придёт к выводу, что число способов топтания существенно меньше числа голых фактов под ногами. Поэтому, если что и стоит изучать, то — первое.

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1641460 писал(а):

Важны не теоремы. Важна техника!

Важны определения.

EminentVictorians в сообщении #1641460 писал(а):

Я сейчас немного изучаю теорию групп и я поражен, насколько мало в ней техники. Результатов - пруд пруди.

Зато определений много. С развитием теории техника ушла в определения. Но если копать глубоко, то там и трудная техника есть. (Если что, то я туда не заходил). Вот пример сложного технического вопроса.

[пианист]

EminentVictorians в сообщении #1641460 писал(а):

Я сейчас немного изучаю теорию групп и я поражен, насколько мало в ней техники

Попробуйте решить какую-нибудь (не учебную) задачу в теории групп, применяя (недостающую) технику. Расскажете потом, насколько техника Вам помогла.
А то ведь может статься, что техники в теории групп ровно столько, сколько необходимо, а Ваш вывод основан единственно не недостаточном владении предметом.

[Mihr]

EminentVictorians в сообщении #1641460 писал(а):

Поражает то, насколько слова естественного языка проигрывают математической нотации

Это да. Когда школьник, познакомившийся с тригонометрией, осознаёт, что выученная некогда теорема "В прямоугольном треугольнике против угла в тридцать градусов лежит катет, равный половине гипотенузы" означает всего-навсего весьма частное равенство $\sin30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$, его это обычно впечатляет.
Есть, однако, и противоположные примеры. Так, некоторые первокурсники, познакомившись с кванторами и уяснив их полезность, пытаются полностью перейти на символьный язык, отказавшись от слов естественного языка, но... вскоре осознают, что сами плохо понимают ранее написанное самостоятельно. И делают вывод, что полностью отказываться от естественного языка даже при записи теорем или их доказательств не стоит.

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1641467 писал(а):

Важны определения.

Это да, но для меня техника важнее. Точнее, тут даже нету противоречия. Важны те определения, которые приводят к хорошей технике. Я уже приводил пример определения подгруппы Фраттини группы $G$ (пересечение всех максимальных подгрупп; обозначим $Fr(G)$). Про неё есть, например, такой факт: она - в точности множество необразующих элементов группы (необразующий элемент группы - это такой элемент, который можно выкинуть без ущерба из любой системы образующих этой группы). Здесь нету никакой техники, просто голый факт. И если бы на этом все бы заканчивалось, я бы считал это определение довольно скверным. Но, к счастью, хоть какая-то техника с подгруппами Фраттини есть: для конечных групп $A$ и $B$ выполняется $Fr(A \times B) = Fr(A) \times Fr(B)$. Хоть что-то. Но по моим представлениям этого очень мало. Должны быть не 1-2-3 формулы, а хотя бы 10-20-30. Чтобы была богатая связь с другими разными групповыми операциями и операторами.

мат-ламер в сообщении #1641467 писал(а):

Зато определений много. С развитием теории техника ушла в определения.

Так должно-то быть наоборот! Символьные языки эффективнее естественных.

[EminentVictorians]

пианист в сообщении #1641478 писал(а):

Попробуйте решить какую-нибудь (не учебную) задачу в теории групп, применяя (недостающую) технику.

Так как я применю недостающую технику, если её нету в учебниках? Сам придумаю?

Я могу такой пример привести (учебный). Попробуйте, например, руками доказать аргумент Томпсона:
Пусть $G$ - группа, $H_1, H_2, H_3 \leqslant G$ - её подгруппы. Предположим, что для любой перестановки $\pi \in S_3$ выполняется включение $H_{\pi_1} \subset H_{\pi_2}H_{\pi_3}$. Тогда произведение $H_i H_j$ (здесь все произведения понимаются по Минковскому) является подгруппой для всех $1 \leqslant i \ne j \leqslant 3$

Я ленивый, поэтому буду использовать технику:

$$H_2H_1 \subset (H_1 H_3)(H_3 H_2) = H_1 (H_3)^2 H_2 = H_1 H_3 H_2 \subset H_1(H_1 H_2) H_2 = (H_1)^2 (H_2)^2 = H_1 H_2$$

Доказательство - буквально одна строчка. Ввиду симметричности задачи ничего больше проверять не надо. А без техники пришлось бы всякой бесполезной фигней страдать.

[Anton_Peplov]

Mihr в сообщении #1641484 писал(а):

Когда школьник, познакомившийся с тригонометрией, осознаёт, что выученная некогда теорема "В прямоугольном треугольнике против угла в тридцать градусов лежит катет, равный половине гипотенузы" означает всего-навсего весьма частное равенство $\sin30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$, его это обычно впечатляет.

Есть и более впечатляющий пример.
В 1539 г. в Милане математик Н. Тарталья сообщил математику Дж. Кардано способ решать уравнения вида $x^3 + ax = b$. Сообщил в готовом виде, без намека на доказательство. Встал вопрос: для всех ли уравнений данного вида этот способ работает? Сейчас проверка выполняется просто: нужно имеющуюся формулу $x = x (a, b)$ подставить в левую часть и убедиться, что получается тождество. Это задача (даже не олимпиадная) для ученика средней школы. Великий математик Джеораламо Кардано решал ее несколько лет.

Дело в том, что в XVI в. математики еще не знали языка формул. Вслед за древними греками они формулировали задачи геометрически. Вместо $x^3$ строился куб, вместо $x^2$ – квадрат. Преобразования, которые сейчас выполняются чисто автоматически, имели вид изнуряющих геометрических доказательств.

Можно ли и в других областях математики заменить продуктивным формализмом сложные рассуждения на естественном языке? Этот вопрос уже поднимался в теме «Общая теория нотаций». И там я озвучил свою точку зрения.

Anton_Peplov в сообщении #1592476 писал(а):

Кажется, Вы хотите не просто удобные обозначения, но и правила преобразования выражений. Что-то типа школьной алгебры, когда мы не доказываем, что выражение $a(b+c)$ равно выражению $ab+ac$, а раскрываем скобки и получаем результат вообще без акта мышления. Обозначения можно ввести какие угодно, а вот хорошие правила преобразования выражений возможны лишь там, где есть теоремы, обосновывающие правомочность этих самых правил. Дистрибутивность умножения сначала нужно доказать (ну или постулировать при определении умножения), а потом пользоваться.

Ни из чего не следует, что в каждой предметной области (или хоть конкретно в общей топологии) можно найти обозначения, для которых существуют хорошие правила преобразования выражений. Рискну предположить, что такие "нотируемые" области это скорее исключение, чем правило.

Anton_Peplov в сообщении #1592506 писал(а):

Если бы в топологии уже была придумана нотация, способная доказывать теоремы без участия мозга, она была бы изложена в каждом учебнике. С любой другой областью математики то же самое.

Учитывая, сколько народу занималось той же топологией, искомая нотация как минимум не лежит не поверхности. Что и наводит меня на пессимистичные предположения.

[мат-ламер]

Anton_Peplov в сообщении #1641523 писал(а):

Дело в том, что в XVI в. математики еще не знали языка формул. Вслед за древними греками они формулировали задачи геометрически. Вместо $x^3$ строился куб, вместо $x^2$ – квадрат

Часто они формулу записывали словами линейно. Например, вместо $x^3$ они писали $X cubus$ . С нотацией Франсуа Виета можно ознакомиться тут . К тому же книгопечатание ещё было несовершенным. Линейную запись было проще набирать.

[пианист]

EminentVictorians в сообщении #1641515 писал(а):

Сам придумаю?

Естественно. А кто же еще? Коль скоро те, кто занимаются теорией групп, обходятся без, стало быть, они и не видят в ней (технике) нужды. Вы видите - Вам и карты в руки. В учебники новое попадает с большим опозданием, а многое и вовсе не попадает.
К чему Вы привели пример (и чего, собс-но, это был пример), я не понял, так что no comment.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov, дело не только в нотации, а еще и в, собственно, операциях и операторах. Во-первых, их тупо мало и они плохо друг с другом связаны. А если посмотреть в учебники, так там вообще край. Но все же их не настолько драматично мало, как выглядит на первый взгляд. Просто они разбросаны и не систематизированы. Все гонятся за результатами, а причесать теорию никто не хочет. Я на 200% уверен, что если бы этим занялись серьезно - профит был бы колоссальный.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1641539 писал(а):

дело не только в нотации, а еще и в, собственно, операциях и операторах. Во-первых, их тупо мало и они плохо друг с другом связаны.

Приведите пример хотя бы одной теории из любой области математики, в которой операторов достаточно и они хорошо друг с другом связаны. Приведите из этой теории пять - семь операторов и связи между ними.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1641540 писал(а):

Приведите пример хотя бы одной теории из любой области математики, в которой операторов достаточно и они хорошо друг с другом связаны.

Евклидова геометрия.

Подобие треугольников (отношение эквивалентности, согласованное с простой арифметикой дробей)
Теорема синусов
Теорема косинусов
Связь синусов и косинусов с отношениями сторон (одна из множества ниточек, связывающих "алгебру" и "геометрию", т.е. аналитику и синтетику)
Миллион формул и операций с векторами и координатами (там одних произведений сколько)
Очень хорошие инварианты (типа суммы углов в треугольнике)

На мой взгляд это одна из наиболее хорошо выстроенных теорий в принципе.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1641541 писал(а):

Евклидова геометрия.

Теперь сравните список аксиом евклидовой геометрии (вместе со свойствами действительных чисел) и список аксиом группы. Хотя бы просто ко количеству аксиом.

Чем больше ограничений на изучаемые объекты, тем больше взаимосвязей между ними. Поскольку эти взаимосвязи и следуют из ограничений. "Всякое утверждение о произвольной группе либо тривиально, либо неверно".

Аналогично: сравните дифференциальную геометрию с теорией произвольных метрических пространств.

[dgwuqtj]

EminentVictorians в сообщении #1641541 писал(а):

Евклидова геометрия.

Кстати, а как эффективно формулами записывать всякие отношения порядка в геометрии? Типа "точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $\ell$". Конечно, можно свести это к куче неравенств в координатах или векторах, но так геометрическая интуиция потеряется. И обычно обходятся картинками, при необходимости — с формальными обоснованиями текстом.