Фихтенгольц, трехтомник, том 1, п.25, пример 4

[fflatx]

Здравствуйте.

В трехтомнике Фихтенгольца есть пример, который привлек моё внимание. Возможно, этот пример, уже обсуждался, но поиск как-то результатов не дал.

Фихтенгольц Г.М. "Курс дифференциального и интегрального исчисления" в 3 томах, Том 1, п. 25, пример 4.

Фихтенгольц писал(а):

4) Возьмем более сложный пример варианты:

$x_n=\dfrac{n^2-n+2}{3n^2+2n-4}$

и докажем, что её пределом будет число $\dfrac{1}{3}$.

C этой целью рассмотрим разность

$x_n-\dfrac{1}{3}=\dfrac{-5n+10}{3(3n^2+2n-4)}$

и оценим её абсолютную величину; для $n>2$ имеем:

$\left\lvert x_n-\dfrac{1}{3}\right\rvert=\dfrac{5n-10}{3(3n^2+2n-4)}<$ $\dfrac{5n}{3(3n^2-4)}<$ $\dfrac{5n}{3\cdot2n^2}<$ $\dfrac{1}{n},$

так что это выражение меньше $\varepsilon$, если
$n>N_\varepsilon=E\left(\dfrac{1}{\varepsilon}\right)$.
Этим доказано, что $x_n \to \dfrac{1}{3}$.

Мне не совсем понятна цепочка преобразований:
$\dfrac{5n-10}{3(3n^2+2n-4)}<$ $\dfrac{5n}{3(3n^2-4)}<$ $\dfrac{5n}{3\cdot2n^2}<$ $\dfrac{1}{n},$

(Примерное изложение того, как я это понимаю)

Из числителя первой дроби убрали отрицательное слагаемое -- числитель стал больше, из знаменателя убрали положительное слагаемое -- знаменатель стал меньше, тем самым вся дробь стала больше, т.о. гарантируется, что следующая дробь больше предыдущей.

А именно, каким образом $\dfrac{5n}{3(3n^2-4)}$ превращается в $\dfrac{5n}{3\cdot2n^2}$.

Если это просто опечатка и там на самом деле $3\cdot3n^2$, тогда вопросов нет. Тем более, что на результат это не влияет.
Правда, в этом случае оказывается, что опечатка годами воспроизводится в разных изданиях (1951г, 1962г, 2003г).
И возможно, эту опечатку стоит упомянуть в соответствующей теме.

Но если это НЕ опечатка, тогда это какое-то преобразование, которое я не улавливаю. В таком случае, прошу дать разъяснения.

[Mihr]

При достаточно больших $n$ выполнено неравенство $n^2>4$. Вроде, очевидно.

[ShMaxG]

Неравенство верное, не опечатка. Сравните $3n^2-4$ и $2n^2$ при $n>2$.

[Dedekind]

fflatx в сообщении #1641338 писал(а):

Если это просто опечатка и там на самом деле $3\cdot3n^2$

то неравенство было бы неверным. Знаменатель увеличили, дробь должна была уменьшиться.

[fflatx]

Dedekind в сообщении #1641345 писал(а):

то неравенство было бы неверным. Знаменатель увеличили, дробь должна была уменьшиться.

А, да, это означало бы, что из знаменателя убрали отрицательное слагаемое. Гм. Честно говоря, я об этом не подумал.

ShMaxG в сообщении #1641342 писал(а):

Неравенство верное, не опечатка. Сравните $3n^2-4$ и $2n^2$ при $n>2$.

Я не говорю, что неравенство неверное. Оно верное. Мне непонятно, откуда появилось $2n^2$, если предыдущем шаге было $3n^2$.

Какие преобразования нужно выполнить, чтобы из $3n^2-4$ получить $2n^2$? Я вот этого уловить не могу.

[Dedekind]

fflatx в сообщении #1641348 писал(а):

Какие преобразования нужно выполнить, чтобы из $3n^2-4$ получить $2n^2$?

Ну, например, разбить $3n^2$ на $2n^2$ и $n^2$. А дальше то, что $n^2>4$ для $n>2$.

[ShMaxG]

fflatx
А не нужно никаких преобразований делать. Я же говорю -- сравните. Поставьте нужный знак неравенства между $3n^2-4$ и $2n^2$.

[Dedekind]

ShMaxG в сообщении #1641351 писал(а):

А не нужно никаких преобразований делать. Я же говорю -- сравните. Поставьте нужный знак неравенства между $3n^2-4$ и $2n^2$.

Я полагаю, вопрос скорее был не в том, как доказать данное неравенство. А в том, как догадаться, что там должно быть именно $2n^2$. А для этого все-таки нужно какие-то преобразования сделать.

[bot]

Dedekind в сообщении #1641354 писал(а):

А для этого все-таки нужно какие-то преобразования сделать.

Если бы в математике всё получалось только лишь в результате преобразований, то никакой математики и не было бы.

[Dedekind]

bot
Как это относится к конкретно этой задаче? Предполагается, что нужно просто угадать ответ?

[bot]

Чтобы доказать бесконечную малость, достаточно найти бОльшую бесконечную малость - это основная идея. Для её реализации надо вспомнить какая монотонность дроби по числителю и по знаменателю и потом осторожно (не перебарщивая) увеличить одно и уменьшить другое - вот и будут Вам преобразования.

[fflatx]

ShMaxG в сообщении #1641351 писал(а):

А не нужно никаких преобразований делать.

А я бы и не делал. Когда я впервые увидел этот пример, у меня была мысль в исходной дроби оставить только члены с $n$ старших степеней, а остальные отбросить, поскольку при больших $n$ они всё равно ни на что не влияют.
И тогда получилось бы $\dfrac{5}{9n}<\dfrac{1}{n}$.
Сейчас я уже не уверен, что это было бы правильно, но результат не сильно отличается от результата в учебнике.

Тем не менее, в учебнике преобразования всё-таки сделаны и некоторые из них мне непонятны. Об этом и тема.

Dedekind в сообщении #1641354 писал(а):

Я полагаю, вопрос скорее был не в том, как доказать данное неравенство. А в том, как догадаться, что там должно быть именно $2n^2$.

В общем, да. Потому что у меня, как я уже сказал, идея вообще была другая.

Dedekind в сообщении #1641350 писал(а):

Ну, например, разбить $3n^2$ на $2n^2$ и $n^2$. А дальше то, что $n^2>4$ для $n>2$.

Я не очень понимаю, что это даёт.
Если записать $\dfrac{5n}{3(2n^2+(n^2-4))}$, то условие $n^2>4$ при $n>2$ позволяет нам отбросить $(n^2-4)$? Может быть, но непонятно, на основании чего.

Я пробовал выделить $2n^2$ и далее отбросить $(n^2-4)$, если считать, что значение $n$ больше $2$ на некоторую малую величину, а значит $(n^2-4)\to 0$. Была такая мысль. Но это плохо соотносится с $n\to \infty$.

[Dedekind]

fflatx
Ну Вам же неравенства нужны. Если вы отбросите $n^2-4>0$ в знаменателе, то что станет с дробью? Обратите внимание, что Вы уже дважды использовали это соображение в других местах.

[fflatx]

Dedekind в сообщении #1641403 писал(а):

fflatx
Ну Вам же неравенства нужны. Если вы отбросите $n^2-4>0$ в знаменателе, то что станет с дробью? Обратите внимание, что Вы уже дважды использовали это соображение в других местах.

Отбросив положительную величину, мы уменьшаем знаменатель, тем самым вся дробь увеличивается.

Только меня смущает, что мы отбрасываем $n^2$. На предыдущих шагах отбрасывались члены младших степеней, их значение пренебрежимо мало, а значит, сильных искажений не было.
Здесь же мы отбрасываем член значимой степени, а это уже немного другая ситуация.
Если так лихо отбрасывать слагаемые, можно всякого навертеть. Например, если в исходной дроби оставить только члены с $n$ первой степени, а всё остальное отбросить, то $n$ сократится и вообще исчезнет из дроби. Вряд ли это будет правильно.

Или я зря обращаю внимание на старшинство степени?

[Dedekind]

fflatx в сообщении #1641407 писал(а):

Например, если в исходной дроби оставить только члены с $n$ первой степени, а всё остальное отбросить, то $n$ сократится и вообще исчезнет из дроби. Вряд ли это будет правильно. Или я зря обращаю внимание на старшинство степени?

Это будет правильно в том смысле, что неравенство-то в любом случае получится верным. Если уменьшаем знаменатель - увеличивается дробь. И не важно, на что именно уменьшаем.
Другое дело, что полученное неравенство будет не слишком полезно именно для доказательства данного предела в Вашей задаче. Поэтому да, на старшинство степени обращать внимание нужно. Нужно отбросить все по максимуму, но не более того. Но Вы же когда отбрасываете $n^2-4$, у Вас все равно остается в знаменателе $2n^2$. Поэтому со старшей степенью ничего не случилось и тут все в порядке.