Помогите понять ход доказательства

[Cynic]

В учебнике по линейной алгебре, который я читаю, есть такой задание:

Цитата:

A= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}. Show that if ad-bc=0 then the equation Ax=0 has more than one solution.

Для того, чтобы доказать это утверждение, я составил таблицу вариантов значений $a, b, c, d$ при которых $ad-bc=0$ и искал хотя бы одно не тривиальное решение для каждого из вариантов (Обозначения: $0$ - значение равно нулю, $\varnothing$ - значение не равно нулю, $x_1, x_2$ - значения соответствующих компонентов вектора $x$ при которых $Ax$ становиться равным нулю, первая строка заголовок таблицы):

Цитата:

$ \begin{matrix} \textbf{a} & \textbf{b} & \textbf{c} & \textbf{d} & \textbf{Ax = 0}\\ 0 & 0 & \varnothing & \varnothing & x_1=-nd, x_2=nc \\ 0 & \varnothing & 0 & \varnothing & x_1 \in R, x_2=0\\ \varnothing & 0 & \varnothing & 0 & x_1=0, x_2 \n R\\ \varnothing & \varnothing & 0 & 0 & x_1=-nb, x_2=nc\\ 0 & 0 & \varnothing & 0 & x_1=0, x_2 \in R\\ 0 & \varnothing & 0 & 0 & x_1 \in R, x_2=0\\ 0 & 0 & 0 & \varnothing & x_1 \in R, x_2=0\\ \varnothing & 0 & 0 & 0 & x_1=0, x_2 \in R\\ 0 & 0 & 0 & 0 & x_1 \in R, x_2 \in R\\ \varnothing & \varnothing & \varnothing & \varnothing & x_1=-b, x_2=a \end{matrix} $

Потом я полез в ответы, чтобы сравнить решения и увидел у автора такой ответ:

Цитата:

a) Suppose $ A= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $ and $ad-bc=0$. If $a=b=0$, then examine $\begin{bmatrix} 0 & 0\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$. This has the solution $x = \begin{bmatrix} d\\ -c \end{bmatrix}$. This solution is nonzero, except when $a=b=c=d$. In that case, however, $A$ is the zero matrix, and $Ax=0$ for every vector $x$.
b) Finally, if $a$ and $b$ are not both zero, set $x= \begin{bmatrix} -b\\ a \end{bmatrix}$. Then $Ax=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -b\\ a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -ab+ba\\ -cb + da \end{bmatrix}$, because $-cb+da=0$. Thus, $x$ is a nontrivial solution of $Ax=0$. So, in all cases, the equation $Ax=0$ has more than one solution.

Мне не понятно по какой логике часть a) доказательства автора доказывает все варианты описанные в первых 9-ти строках моей таблицы?

[EminentVictorians]

Я бы вообще пропустил это упражнение.

У Вас тут квадратная матрица 2 на 2, т.е. линейный оператор $K^2 \to K^2$ ($K$ - поле). Раз определитель ноль, значит матрица вырожденная, значит линейный оператор - не изоморфизм, значит у него нетривиальное ядро, и следовательно у этого уравнения $Ax = 0$ есть нетривиальное (не нулевое) решение.

Но у Вас, скорее всего, некоторые из этих понятий еще не ввели и Вы наверное мучаетесь и пытаетесь решить эту задачу элементарными методами. Я такие вещи пропускаю, потому что (сообразно моей личной философии на математику) я считаю, что простое решение с помощью развитой теории полезнее сложного решения элементарными методами. Но тут уж Вам решать.

[mihaild]

Часть а) это строки 1, 5, 7, 8 из Вашей таблицы.

EminentVictorians, я не соглашусь с Вашей философией. ИМХО как раз полезно поделать такие штуки руками, чтобы понять, как они работают.

[iifat]

Cynic в сообщении #1640992 писал(а):

по какой логике

Ну, по вашей же логике, в которой составлены 9 строк вашей же таблицы. Просто вы находите больше нетривиальных решений, чем приводит автор. Поскольку в данной задаче количество найденных решений не имеет значения (лишь бы хотя бы одно), оба подхода равноправны, но второй короче.

[zykov]

mihaild в сообщении #1640994 писал(а):

1, 5, 7, 8

1, 5, 7, 9

mihaild в сообщении #1640994 писал(а):

ИМХО как раз полезно поделать такие штуки руками,

Соглашусь.
На начальных этапах полезно пощупать.

[Евгений Машеров]

Ну, наверно, автор доказательства не утруждал себя перебором всех вариантов. А прямо доказывал высказанное утверждение.
Лично я бы делал в два шага.
1. Если $Ax=0$ при ненулевом x, то $y=\alpha x$ тоже решение (то есть если решение при нулевой правой части есть, то их много)
2. Поищем хотя бы одно, для чего будем решать "по Гауссу", вычитая одну строку (умноженную на подходящий коэффициент) из другой, чтобы получить в строке все, кроме одного, нули. Но при заданном условии - в строке все нули (а если изначально была строка из нулей - не будем "снимать чайник с огня и выливать воду, сводя задачу к решённой"). Строка коэффициентов изо всех нулей - равенство правой части нулю обеспечивается при любых x. Надо удовлетворить только равенство для одной строки, где коэффициенты ненулевые. А это одно уравнение с двумя неизвестными, одно может быть выражено через другое. Подставляем произвольное значение одного - получаем значение второго, когда выполняется равенство нулю первой строки (а вторая равна автоматически).
Вот такое доказательство "для пятого класса"

[мат-ламер]

Можно для начала попробовать найти общий вид матрицы второго порядка с нулевым определителем.

[gefest_md]

Если бы мне пришла в голову идея построить таблицу, то я бы сделал её с 16-ю строками, $2^4.$

Cynic в сообщении #1640992 писал(а):

Мне не понятно по какой логике часть a) доказательства автора доказывает все варианты описанные в первых 9-ти строках моей таблицы?

Приём доказательства разбором случаев.

Случай 1. $a=0$ и $b=0.$

Случай 1.1. $c=0$ и $d=0.$
Случай 1.2. $c\not=0$ или $d\not=0$ (отрицание случая 1.1.).

Случай 1.2.1. $c\not=0.$
Случай 1.2.2. $d\not=0.$


Случай 2. $a\not=0$ или $b\not=0$ (отрицание случая 1.).

Случая 2.1. $a\not=0.$
Случай 2.2. $b\not=0.$

[Cynic]

zykov в сообщении #1641002 писал(а):

mihaild в сообщении #1640994 писал(а):

1, 5, 7, 8

1, 5, 7, 9
И как вы это поняли? Можно поподробнее ...

gefest_md в сообщении #1641014 писал(а):

Если бы мне пришла в голову идея построить таблицу, то я бы сделал её с 16-ю строками, $2^4.$

В этом нет смысла, потому что меня интересуют только случаи когда $ad-bc=0$

[zykov]

Cynic в сообщении #1641015 писал(а):

И как вы это поняли? Можно поподробнее ...

Строки, где $a=b=0$.
Это случай (a). Строка 9 - вторая часть случая (a).

[gefest_md]

Cynic в сообщении #1641015 писал(а):

1, 5, 7, 9

Только в этих строках $a=0$ и $b=0.$ Они соответствуют пункту а) в учебнике или Случаю 1 в моём предыдущем сообщении. Доказательство в учебнике основано на таком правиле: Если из $P$ следует $Q,$ а из отрицания $P$ тоже следует $Q,$ то $Q$ верно.
Чтобы убедиться в истинности этого правила можете вычислить таблицу истинности для соответствующей формулы.

Cynic в сообщении #1641015 писал(а):

В этом нет смысла, потому что меня интересуют только случаи когда $ad-bc=0$

Позволю себе процитировать уважаемого mihaild

mihaild в сообщении #1640994 писал(а):

ИМХО как раз полезно поделать такие штуки руками, чтобы понять, как они работают.

[Cynic]

zykov в сообщении #1641020 писал(а):

Cynic в сообщении #1641015 писал(а):

И как вы это поняли? Можно поподробнее ...

Строки, где $a=b=0$.
Это случай (a). Строка 9 - вторая часть случая (a).

Согласен. С учётом того, что 10 строка это часть $b)$ доказательства, не понятно как автор в своем доказательстве покрывает случаи 2, 3, 4, 6, 8?

[gefest_md]

Cynic в сообщении #1641031 писал(а):

С учётом того, что 10 строка это часть $b)$ доказательства, не понятно как автор в своем доказательстве покрывает случаи 2, 3, 4, 6, 8?

Тоже b).

Cynic в сообщении #1640992 писал(а):

if $a$ and $b$ are not both zero

переводится как “не оба равны нулю”: $a\not=0$ или $b\not=0.$

[Cynic]

gefest_md в сообщении #1641021 писал(а):

Если из $P$ следует $Q,$ а из отрицания $P$ тоже следует $Q,$ то $Q$ верно.

Прям чувствуется, что американские книги вы читали

gefest_md в сообщении #1641033 писал(а):

Cynic в сообщении #1641031 писал(а):

С учётом того, что 10 строка это часть $b)$ доказательства, не понятно как автор в своем доказательстве покрывает случаи 2, 3, 4, 6, 8?

Тоже b).

Действительно, как-то сразу до меня это не дошло

[Утундрий]

Формально здесь четыре бинарных признака, но мы же можем без ущерба для окружающей среды переставлять местами и столбцы и строки.