О компоненте континуума

[Evgenii2012]

Пусть $K$ -- континуум в ${\Bbb R}^n,$ $n\geqslant 2,$ такой что $K\cap \overline{B(x_0, r)}\ne\varnothing\ne K\setminus \overline{B(x_0, r)},$ где $B(x_0, r)=\{x\in {\Bbb R}^n: |x-x_0|<r\}.$
Пусть $K_1$ -- компонента множества $K\cap \overline{B(x_0, r)}.$ Верно ли, что $K_1\cap S(x_0, r)\ne\varnothing?$

Доказательство того, что ответ "да" в случае линейно связного $K$ вроде бы легко проводится. Интересует случай, когда $K$ связно, но не линейно связно.
Континуум, как известно, -- это связный компакт.

[mihaild]

Пусть $U$ - открыто в $\overline B$ и $U \cap K \cap \overline B = K_1$, тогда $U \cap B$ открыто, и $U \cap K = K_1$.
Тогда $K_1$ и $K \setminus U$ компактны и не пересекаются, значит расстояние между ними больше нуля, значит есть непересекающиеся окрестности.

[dgwuqtj]

Так ведь компоненты связности в компактах не обязательно открыты.

[mihaild]

Да, но я вроде бы про открытость $K_1$ ничего не говорю.

[dgwuqtj]

А откуда такое $U$ тогда?

[mihaild]

$K_1$ - компонента связности $K \cap \overline B$. Это значит, что существуют два открытых в $\overline B$ множества, $U$ и $V$, такие что $U \cap V = \varnothing$, $K_1 \subseteq U$, $(K \cap \overline B) \setminus K_1 \subseteq V$.

[dgwuqtj]

Возьмём канторово множество $K$ и его компоненту связности $K_1 = \{0\}$. Эта компонента не открыта в топологии $K$.

[mihaild]

Да, люблю я эти грабли - что компоненту связности нельзя отделить, не первый раз на них наступаю.

[Evgenii2012]

Дорогие коллеги, благодарен Вам за обсуждение этой проблемы. Давайте всё-таки попробуем установить истину, очень хочется данный вопрос закрыть. У меня есть доказательство этого факта, но оно содержит неточность, которую выявил dgwuqtj. По-видимому, она является невосполнимым пробелом; во всяком случае я не могу пока устранить его. Могу привести здесь это доказательство, если интересно.

От себя могу ещё добавить, что считаю сформулированное утверждение верным. Также Рикман в своей монографии [Rickman S.: Quasiregular Mappings. Springer, Berlin etc. (1993)] считает это утверждение верным, см. первый абзац доказательства леммы 2.6 гл. III.
Но он его не доказывает, а считает очевидным.

[Padawan]

К. Куратовский Топология, том 2, $\S 47$, III

Цитата:

Теорема 1. Если $A$ - собственное замкнутое подмножество континуума $X$ и если $C$ -- компонента множества $A$, то $C\cap\overline {X\setminus A}\neq\varnothing$, то есть $C\cap\mathop{\mathrm{Fr}}A\neq \varnothing$.

[Evgenii2012]

Padawan, большое спасибо! Я видел это утверждение, но почему-то решил, что оно не применимо. Топология, относительно которой берётся ${\rm Fr\,}A,$ надо полагать, - это топология самого континуума X? Иначе там могут быть проблемы с применением этого утверждения для нашего случая, начиная от того, что ${\rm Fr\,}A$ - это условный "хвост" континуума, заканчивая тем, что континуум в виде дуги кривой вообще может состоять только из граничных точек.

[dgwuqtj]

Evgenii2012 в сообщении #1640826 писал(а):

Топология, относительно которой берётся ${\rm Fr\,}A,$ надо полагать, - это топология самого континуума X?

Ага, заодно $X$ не обязательно вложен в евклидово пространство. Скажем, гильбертов кирпич.

[Evgenii2012]

dgwuqtj, тем не менее, интересующее нас утверждение, вроде бы, доказано, - или я ошибаюсь?

[dgwuqtj]

Конечно, всё в порядке.

[Evgenii2012]

Я тогда благодарю Вас за помощь, dgwuqtj, Padawan и mihaild. Остаётся открытым вопрос из моего предыдущего поста: будет ли нульмерное открытое отображение из $D\subset {\Bbb R}^n,$ $n\geqslant 3,$ в ${\Bbb R}^n$ дискретным. Топологии ${\Bbb R}^n$ и в образе, и в прообразе.