Операторы теории групп

[EminentVictorians]

Хочу найти как можно более объемный список операторов из теории групп. Например,

$o(g)$ - порядок элемента $g$
exp(G) - экспонента группы $G$
$N(X)$, $C(X)$ - нормализатор и централизатор множества $X$
Ф(G) - подгруппа Фраттини группы $G$

и так далее.

Смотрел Глоссарий_теории_групп, но там немного не то (да и мало там собственно операторов).

Может быть кто-то встречал? В идеале, вместе с формулами, связанными с этими операторами.

[dgwuqtj]

Возьмите книжку Gorensten, Finite groups. Там в конце собраны все используемые обозначения. Это, конечно, в основном про конечные группы, ну так экспонента и порядок элемента для бесконечных групп обычно не определены. Ещё можно посмотреть прямо в CFSG, скажем, Gorenstein, Lyons, Solomon, The classification of finite simple groups, Part I, в конце опять же есть список обозначений. Там везде есть ссылки на страницы с определениями, ну и формул хватает.

[EminentVictorians]

dgwuqtj, спасибо, посмотрел. Но это не совсем то, что я искал.

Впрочем, это я сам дурак, задал не тот вопрос, который на самом деле хотел.

Дело вот в чем. Мне очень нравится "алгебраический" подход к математике. Это когда мало слов и много символьных преобразований. Я верю, что развитый язык символьных преобразований позволяет гораздо эффективнее заниматься математикой, чем "словесный" подход, где много текста и мало алгебры.

Ну, можно такой пример привести, раз уж тема про группы. Есть, например, теорема о том, что подгруппы группы собираются в решетку (относительно пересечения и порождения). И есть, ну допустим такая теорема, что если группа артинова (это значит, что в ней выполняется условие обрыва убывающих цепочек подгрупп), то такая группа периодична. Казалось бы, 2 теоремы, обе довольно простые, обе написаны на словах естественного языка. Но для меня первая теорема будет кратно важнее второй. В первой теореме есть алгебра (решетка), т.е. есть какая-то структура, где я могу что-то посчитать, попреобразовывать, есть 2 бинарные операции $\cap$ и $\vee$, можно скобки пораскрывать и т.д. А во второй теореме я вижу просто голый факт, что из такого-то свойства вытекает какое-то другое. Я не вижу здесь алгебры, тут нету мира, в котором можно было бы намутить какие-то вычисления.

Да даже введем такое банальное определение: $g^x:= x^{-1}gx$ (элемент, сопряженный к $g$ при помощи $x$)
И уже возникает классная алгебра:

$$x^{hg} = (x^h)^g$$

$$(xy)^g = x^g y^g$$

$$(x^{-1})^g = (x^g)^{-1}$$

Или сравните, например, с теоремой, что подгруппа Фраттини совпадает с множеством необразующих элементов группы. Неплохой факт, я бы даже сказал, что неожиданный, но в нем нету алгебры, в которой можно было бы что-то посчитать и попреобразовывать. Поэтому та штука про возведение в степень будет для меня гораздо интереснее, чем какой-то факт про какую-то подгруппу.

Я ищу именно такие, "вычислительно-алгебраические" операторы вместе с формулами для них.

[dgwuqtj]

Так это надо брать конкретный кусок теории групп и под него придумывать язык. Скажем, есть отдельно деятельность про решётки, возникающие как решётки подгрупп или похожие на них (с понятием нормальности при включении одной подгруппы в другую). Есть полуабелевы категории и вообще неабелева гомологическая алгебра, обобщение одновременно групп и колец без единицы. Есть конечные p-группы. Есть комбинаторная теория групп, там амальгамированные произведения и действия на деревьях.

[EminentVictorians]

dgwuqtj в сообщении #1640591 писал(а):

Так это надо брать конкретный кусок теории групп и под него придумывать язык.

А готового продукта нету? Просто как-то это странно, есть миллион работ по теории групп, в которых что только не изучается (какие-нибудь условия, которые встречаются в одной статье своего автора), а создать языки под те или иные (общепризнанные, базовые) разделы теории никому не надо?

[dgwuqtj]

У математиков есть обычные формулы первого порядка, разные диаграммы и естественные языки. Если вдруг придумаете что-то более эффективное, пожалуйста.