Задача из матана

[Gg322]

Исследовать на экстремум функцию $y=\sin(x) + \cos(y) + \cos(x-y) $
У функции в любой точке существует производная, значит по необходимому условию в точках экстремума $y’=0$. Используя это условие я пришёл к условию $2x-y=\frac{\pi}{2}+2\pi k$, подставил в исходное уравнение и получил уравнение на $x: 2x-\frac{\pi}{2}-2\pi k = 2\sin(x)+\sin(2x)$. Заменой $t=x-\frac{\pi}{4}-\pi k$ получил два уравнения:

$$2t=2\sin(t+\frac{\pi}{4})+\cos(2t), k=2m, 2t=-2\sin(t+\frac{\pi}{4})+\cos(2t), k=2m+1, k,m \in \mathbb{Z}.$$

И не понятно как найти $t$, и как показать, что найденные точки это точки экстремума.

[dgwuqtj]

Это вообще функция? Такое ощущение, что она многозначная и частично определённая, а кое-где $y'$ обращается в бесконечность.

[Gg322]

dgwuqtj в сообщении #1640546 писал(а):

Это вообще функция? Такое ощущение, что она многозначная и частично определённая, а кое-где $y'$ обращается в бесконечность.

Неявная функция. График в десмосе хороший, на глаз достаточно гладкая функция

[dgwuqtj]

Возможно, в явном виде $t$ найти и не получится. Но можно оценить, сколько там решений и примерно в каких они промежутках.

[bot]

А не $z$ ли стояло в левой части?

Gg322 в сообщении #1640539 писал(а):

Используя это условие я пришёл к условию $2x-y=\frac{\pi}{2}+2\pi k$

А это неверно в любом случае (явном или неявном), так как синусы равны не только тогда, когда их аргументы различаются на период.

[Gg322]

bot в сообщении #1641217 писал(а):

А не $z$ ли стояло в левой части?

Gg322 в сообщении #1640539 писал(а):

Используя это условие я пришёл к условию $2x-y=\frac{\pi}{2}+2\pi k$

А это неверно в любом случае (явном или неявном), так как синусы равны не только тогда, когда их аргументы различаются на период.

В задание слева стоит $y$, возможно опечатка.
Условие правильное, другое решение уравнения приведёт к пустому множеству.

[bot]

Gg322 в сообщении #1641234 писал(а):

другое решение уравнения приведёт к пустому множеству

Действительно приводит, извините, что плохо о Вас подумал. Таким образом, в неявном случае Ваши выкладки верны и я не вижу хорошего продолжения.

Всё же думаю, что в условии опечатка, то есть в левом части стоит $z$ и случай явный.
Тогда обнуление производных даст $2\times 2=4$ варианта. И никаких проблем с разрешимостью, муторно только.