2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача из матана
Сообщение28.05.2024, 15:10 


29/10/21
79
Исследовать на экстремум функцию $y=\sin(x) + \cos(y) + \cos(x-y) $
У функции в любой точке существует производная, значит по необходимому условию в точках экстремума $y’=0$. Используя это условие я пришёл к условию $2x-y=\frac{\pi}{2}+2\pi k$, подставил в исходное уравнение и получил уравнение на $x: 2x-\frac{\pi}{2}-2\pi k = 2\sin(x)+\sin(2x)$. Заменой $t=x-\frac{\pi}{4}-\pi k$ получил два уравнения: $$2t=2\sin(t+\frac{\pi}{4})+\cos(2t), k=2m, 2t=-2\sin(t+\frac{\pi}{4})+\cos(2t), k=2m+1, k,m \in \mathbb{Z}.$$ И не понятно как найти $t$, и как показать, что найденные точки это точки экстремума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из матана
Сообщение28.05.2024, 16:29 
Заслуженный участник


07/08/23
1196
Это вообще функция? Такое ощущение, что она многозначная и частично определённая, а кое-где $y'$ обращается в бесконечность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из матана
Сообщение28.05.2024, 16:39 


29/10/21
79
dgwuqtj в сообщении #1640546 писал(а):
Это вообще функция? Такое ощущение, что она многозначная и частично определённая, а кое-где $y'$ обращается в бесконечность.

Неявная функция. График в десмосе хороший, на глаз достаточно гладкая функция

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из матана
Сообщение28.05.2024, 17:12 
Заслуженный участник


07/08/23
1196
Возможно, в явном виде $t$ найти и не получится. Но можно оценить, сколько там решений и примерно в каких они промежутках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из матана
Сообщение03.06.2024, 13:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
А не $z$ ли стояло в левой части?

Gg322 в сообщении #1640539 писал(а):
Используя это условие я пришёл к условию $2x-y=\frac{\pi}{2}+2\pi k$

А это неверно в любом случае (явном или неявном), так как синусы равны не только тогда, когда их аргументы различаются на период.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из матана
Сообщение03.06.2024, 16:54 


29/10/21
79
bot в сообщении #1641217 писал(а):
А не $z$ ли стояло в левой части?

Gg322 в сообщении #1640539 писал(а):
Используя это условие я пришёл к условию $2x-y=\frac{\pi}{2}+2\pi k$

А это неверно в любом случае (явном или неявном), так как синусы равны не только тогда, когда их аргументы различаются на период.

В задание слева стоит $y$, возможно опечатка.
Условие правильное, другое решение уравнения приведёт к пустому множеству.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из матана
Сообщение04.06.2024, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Gg322 в сообщении #1641234 писал(а):
другое решение уравнения приведёт к пустому множеству

Действительно приводит, извините, что плохо о Вас подумал. Таким образом, в неявном случае Ваши выкладки верны и я не вижу хорошего продолжения.

Всё же думаю, что в условии опечатка, то есть в левом части стоит $z$ и случай явный.
Тогда обнуление производных даст $2\times 2=4$ варианта. И никаких проблем с разрешимостью, муторно только.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: drzewo


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group