Степень свободы в математике

[xaxa3217]

приветствую! я не профессиональный математик и совсем никудышный физик. тем не менее меня заинтересовало такое понятие, известное из физики, как степень свободы. в простом варианте интуитивно оно и так ясно - упорядоченный набор параметров однозначно описывающий заданный объект. и вроде бы все очевидно, тем более укрепившийся в голове еще со школы факт того, что точка на плоскости описывается двумя координатами заставляет думать, что у точки на плоскости действительно две степени свободы. с другой стороны, существует биективное отображение между $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$ откуда следует, что точку фактически можно описать одной координатой. все хорошо, кроме линейности. с другой стороны какое отношение она имеет к описанию объекта? нам даже не нужно знать, что такое сумма двух объектов или сумма двух параметров. в итоге множество любых объектов задаваемых конечным набором параметров может быть описано отрезком $[0,1]$. это противоречит интуитивно желанному "закону сохранения числа степеней свобод" при переходе от одних параметров к другим. еще раз повторюсь, о линейности мыслей не заходит вовсе. к примеру эллипс можно описать пятью параметрами - по две координаты на каждый фокус и число - сумма расстояний от фокусов до точки принадлежащей фигуре. следуя вышесказанному, для "хранения" множества эллипсов или $\mathbb{R}^5$ достаточно $\mathbb{R}$ и даже $[0,1]$.
понятное дело, что эта внутренняя кухня, со своими фокусами, не помогает по одной точке на прямой восстановить эллипс (в заданной плоскости со своим законом соответствия между полученными (f: $\mathbb{R} -> \mathbb{R}^5$) параметрами и реальными координатами) - придется обращаться к самому значению параметра или как-то еще более хитро иначе. и тут возникает аналогия, только в более общем виде, с задачей построения циркулем и линейкой. есть набор точек, к значениям координат которых, мы обращаться, вообще говоря, не умеем, и необходимо по ним восстановить некоторый объект, геометрическое множество точек которого описывается каким-то известным законом. тут всплывает требование красивой и визуально ощутимой линейности рабочего пространства, с его помощью можно "одной линейкой" построить множество точек прямой проходящих через две заданных точек и так далее. и в таком виде (уже без инструментария абстрактного чертежника) уже интуитивно ясно, что для того же эллипса, четырех параметров из $\mathbb{R}$ недостаточно для полного описания. причем это могут быть естественно не только координаты каких-то точек, но так же и коэффициенты какой-нибудь касательной к нему, какого-нибудь хитро-вписанного треугольника и т.п. и если не брать в расчет описаний с избыточным кол-вом параметров, то наблюдается тот же "закон сохранения". вот только доказать это красивое и ожидаемое утверждение не удается ввиду проблем с формализацией понятия степень свободы.

ps на интерес к написанным выше свободным мыслям не сильно рассчитываю, но тем не менее я запутался, и хотелось бы узнать кто что думает

[В.П.]

Насколько я смог понять текст, математическая формализация понятия "степень свободы" - размерность многобразия.

[Алексей К.]

Я невольно подумал о том человеке, который незнамо когда придумал большие и маленькие буковки. И правило начинать предложение с большой буковки. Вроде мелочь, могли бы и обойтись, но как помогает! Респект неизвестному гению!

[xaxa3217]

Цитата:

Насколько я смог понять текст, математическая формализация понятия "степень свободы" - размерность многобразия.

с топологией совсем не знаком, поэтому прочитал про понятие топологической размерности, спасибо. тут как раз был уверен, что размерность должна как-то определятся не только для линейный пространств. тем не менее, о каком многообразии вы говорите? многообразии описываемых объектов? как его вводят, каким свойствами наделяют, чтобы говорить о том, что, к примеру, у того же эллипса в этом пространстве их ровно пять, несмотря на то, что его можно однозначно описать одной координатой? чем человек в данном случае руководствуется, вот что мне интересно.

Цитата:

Я невольно подумал о том человеке, который незнамо когда придумал большие и маленькие буковки. И правило начинать предложение с большой буковки. Вроде мелочь, могли бы и обойтись, но как помогает! Респект неизвестному гению!

я бы сказал, респект и уважуха! и не человек он был, а человечище!
если серьезно, невольно думать конечно лучше, чем думать по воле, но в любом случае, сообщать о каждой новой мысли окружающим не стоит. если текст без заглавных букв для вас действительно становится нечитаемым, то уж простите, за клавиатурой так привык. но коли вас это так потревожило, что вы решили отписаться, то наверное другим читать мои каракули тоже неудобно. и поэтому..

С этого предложения я буду стараться писать сообщения с большими буквами в нужных местах.

[AD]

xaxa3217 в сообщении #164338 писал(а):

тем не менее, о каком многообразии вы говорите? многообразии описываемых объектов? как его вводят, каким свойствами наделяют, чтобы говорить о том, что, к примеру, у того же эллипса в этом пространстве их ровно пять, несмотря на то, что его можно однозначно описать одной координатой?

Ну вводят множество допустимых значений всех интересующих нас физических величин. Оно как-то там даже называется - фазовое пространство что-ли. Обычно оно получается так: берётся $\mathbb{R}^N$, где $N$ - количество величин, описывающих наш объект (например, координаты и скорости всех точек некоторой системы), а потом накладывают некоторое количество имеющихся связей (скажем, какие-то точки скреплены палочкой, и расстояние между ними не меняется). Связи обычно имеют вид $f_i(\vec x)=0$, где $f_i:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}$, $i=1,\ldots,M$. Так рождается множество

$$S=\left\{\vec x\in\mathbb{R}^N: f_i(\vec x)=0, i=1,\ldots,M\right\}$$

.
А если функции $f_i$ достаточно хорошие, то, пользуясь теоремой о системе неявных функций, можно естественным образом наделить это множество структурой гладкого многообразия. И у многообразия этого появляется топологическая размерность, которую физики и называют количеством степеней свободы.

Добавлено спустя 1 минуту 55 секунд:

Алексей К. в сообщении #164250 писал(а):

И правило начинать предложение с большой буковки. Вроде мелочь, могли бы и обойтись, но как помогает! Респект неизвестному гению!

Хмм, а я и не заметил Ну, так, что-то криво показалось сначала, но почему - не просёк. А чё, есть языки и без больших букв вообще ...

[shwedka]

AD в сообщении #164345 писал(а):

Оно как-то там даже называется - фазовое пространство что-ли.

Не совсем. конфигурационное пространство. Фазовое-это нечто другое. Грубо говоря (ООООООООООООООООООООООчень грубо) размерность фазового пространства вдвое больше размерносати конфигурационного.

[AD]

О. Спасибо, постараюсь теперь запомнить

[Алексей К.]

AD в сообщении #164345 писал(а):

А чё, есть языки и без больших букв вообще ...

\begin{verbatim} Е Я Н Д В В П И Ч С П А Е О Р Л Т Т О П Л З С И И Е Ь Н Р О М И В Н . С И , О Л Ы С И К М Ж Е Ч Т Я И Е Н К А . Й Р О И Ж . , . , . Е . \end{verbatim}

[antbez]

Цитата:

А чё, есть языки и без больших букв вообще ...

Не языки, а системы письма! И их- большинство!

[mserg]

Понятие степени свободы возникает в моделях. Например, состояния газа, описываемое уравнением ван-дер-ваальса, имеет три переменные (давление, объем и температура) и одно равенство. Переменные имеют физический смысл и их можно померять, пощупать а то и понюхать. Конечно, можно эти переменные свести к одной размерности. Но каков же будет смысл этой переменной и зачем она нужна?

[Topoi]

xaxa3217 писал(а):

для "хранения" множества эллипсов или $\mathbb{R}^5$ достаточно $\mathbb{R}$ и даже $[0,1]$.

На сколько я понял Ваш текст (а было нелегко ), Вас поразила возможность хранить исчерпывающую информацию о довольно сложном объекте (его определяющие параметры, если угодно) внутри объекта довольно простого. Я думаю Вашему "закону сохранения числа степеней свобод" самое место в теории информационных систем. Довольно большая работа по вопросу о том, как сложные структуры (с не только не конечным, а даже и с несчётным числом параметров) свести к более простым и при этом не потерять ничего, уже проведена. Вперёд, знакомьтесь и вносите, мож быть, свою лепту.

[kpierre]

Меня тоже очень и очень интересует этот вопрос, причем относительно давно.

Единственная содержательная мысль, к которой я пришел выглядит вот так, прошу извинить мой дилетантизм:

Хранение координат точки в виде двух чисел мы можем производить в произвольном векторном прострастве размерности два, число аксиом здесь относительно невелико. Для преобразования же $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ необходимо применять намного более сложную аксиоматику, по-видимому именно и позволяющую таким образом "сжимать" информацию.

Из этого получается множетсво вопросов: сколько именно надо аксиом и какого свойства для достижения такого преобразования, как такие преобразования и системы аксиом классифицировать и т.д.

Большое спасибо за наводку в области "теории информационных систем", надеюсь хоть что-нибудь смогу здесь прояснить с ее помощью.