Вариационная задача с условием в виде неравенства

[knodd]

Red_Herring Да, это главная часть вопроса. Ясно что отрыв не может происходить позже этого момента, потому что тогда $u = u_0$ не удовлетворяет $-u'' + 1 \geq 0$ ещё какое-то время, но почему бы ему не произойти раньше?

[knodd]

Red_Herring в сообщении #1640216 писал(а):

knodd в сообщении #1640215 писал(а):

Мне кажется (поправьте если я не прав), что в уравнениях

Рассмотрим самый простой случай: $u_0$ константа. Вы рисуете параболу. Если $u_0$ внизу, то решение будет этой параболой. А если парабола натыкается на препятствие, то решение после этого становится $u_0$, а потом отрывается и снова парабола.

И ещё один вопрос. Парабола в данном случае определяется двумя коэффициентами. Один извлекается из непрерывности. А откуда взять второй? Ведь именно второй коэффициент отвечает за то когда $u$ наткнётся на $u_0$ в следующий раз.

[Red_Herring]

Решите уравнение Э-Л с двумя граничными условиями и получите единственную параболу.

[knodd]

Red_Herring Понял. А если правый конец свободный?

[Red_Herring]

knodd в сообщении #1640254 писал(а):

А если правый конец свободный?

Вариационная задача может иметь мало гранитных условий, но у краевой задачи для УЧП всегда будет нужное число условий. Например, в модельной задаче будут условия $u(0)=0$, $u'(1)=0$.

[knodd]

Red_Herring Дело в том что моя исходная задача чисто вариационная, она не возникает из урчп. Во всяком случае меня она интересует не поэтому. И мне хочется понять как действовать в этом случае. На Вашем примере, мой вопрос заключается в том как понять где $u$ пересекает $u_0$ если правый конец свободен. Исходя из каких условий?

[Red_Herring]

knodd в сообщении #1640259 писал(а):

Дело в том что моя исходная задача чисто вариационная, она не возникает из урчп

Так оно обычно и бывает. Но вариационная задача приводит к краевой задаче, и если у вариационной задачи м.б. любое число краевых условий, то в задаче для УЧП будет всегда правильное число.

Рекомендация: разобраться с классическими задачами, без односторонних ограничений, и до тех пор не трогать задачи с подобными ограничениями.

[knodd]

Red_Herring Понял. Видимо Вы имеете в виду что-то вроде того как граничные условия Неймана для оператора Лапласа на границе области накладываются сами собой если задавать квадратичную форму $\int |\nabla u|^2 \, dx$ на $H^1$ в этой области.

У меня об этом крайне смутные воспоминания, пойду освежать. Спасибо за помощь!

-- 26.05.2024, 01:37 --

Red_Herring в сообщении #1640258 писал(а):

knodd в сообщении #1640254 писал(а):

А если правый конец свободный?

Например, в модельной задаче будут условия $u(0)=0$, $u'(1)=0$.

Позвольте задать ещё один вопрос. А если $u_0(t)$ не константа, то в задаче со свободным концом вблизи правого края возможны две ситуации: либо $u(t)$ постоянная, и тогда возникает условие Неймана как вы сказали. Либо $u(t) = u_0(t)$, и тогда $u'(1) = u_0'(1)$. Но как можно понять какая из двух ситуаций реализуется?