Вариационная задача с условием в виде неравенства

[knodd]

Я пытаюсь решить задачу минимизации следующего функционала

$$ \int_0^1 ( f'(t)^2 + g'(t)^2 - 2 \, r f'(t) g'(t) ) \, dt $$

по множеству пар $(f, g)$ таких что $f(t) \geq f_0(t)$ и $g (t) \geq g_0(t)$ для всех $t$. $g_0(t)$ и $f_0(t)$ это какие-то фиксированные функции и $r \in (0, 1)$.

Если $r < 0$, решение $(f, g)$ это наименьшие вогнутые неубывающие мажоранты функций $f_0$ и $g_0$. Если $r > 0$, я не знаю что делать.

Я попробовал взять лагранжиан

$$ \mathcal{L} = f'^2 + g'^2 - 2 r f' g' + \lambda ( f - f_0 ) + \mu (g - g_0). $$

и записать уравнения Эйлера-Лагранжа для него

$$ 2f''(t) - 2rg''(t) = \lambda(t) \quad \text{and} \quad 2g''(t) - 2 r f''(t) = \mu (t), $$

но что делать дальше я не знаю. Как правильно соотнести эти уравнения с $f_0$ и $g_0$?

[Red_Herring]

Уравнения Э-Л должны выполняться только там, где оба неравенства на $f,g$ строгие. Распишите вариацию функционала и заметьте, что $\delta f$ может быть и положительной и отрицательной там где $f>f_0$ и может быть только положительной там где $f=f_0$ и аналогично для $\delta g$.

Это все подробно написано в книгах Лионса–старшего и Ко (он много-много книг написал, с многими повторами)

[svv]

knodd в сообщении #1640184 писал(а):

$f(t) \geq f_0(t)$ и $g (t) \geq g_0(t)$

А эти условия принципиально что-то меняют? Допустим, Вы их не учитывали и нашли хорошее решение $(f,g)$. Но оказалось, что условие $g (t) \geq g_0(t)$ не выполняется. Тогда вместо $g(t)$ возьмите $g(t)+C$, подобрав константу $C$ так, чтобы неравенство выполнялось. В функционал входят только производные $f$ и $g$, и на них прибавление к функциям констант не повлияет.

[knodd]

svv в сообщении #1640186 писал(а):

$f(t) \geq f_0(t)$ и $g (t) \geq g_0(t)$ А эти условия принципиально что-то меняют? Допустим, Вы их не учитывали и нашли хорошее решение $(f,g)$. Но оказалось, что условие $g (t) \geq g_0(t)$ не выполняется. Тогда вместо $g(t)$ возьмите $g(t)+C$, подобрав константу $C$ так, чтобы неравенство выполнялось.

Очевидно что решения без этих условий это прямые линии. С этими условиями при $r < 0$, как я написал выше, решение это наименьшие неубывающие вогнутые мажоранты функций из условий.

-- 25.05.2024, 10:44 --

Red_Herring в сообщении #1640185 писал(а):

Уравнения Э-Л должны выполняться только там, где оба неравенства на $f,g$ строгие. Распишите вариацию функционала и заметьте, что $\delta f$ может быть и положительной и отрицательной там где $f>f_0$ и может быть только положительной там где $f=f_0$ и аналогично для $\delta g$.

Это все подробно написано в книгах Лионса–старшего и Ко (он много-много книг написал, с многими повторами)

Да, я понимаю что условия ЭЛ дожны выполняться только там где неравенства строгие. Это в частности видно в моем примере с $r < 0$: в этом случае функция $f$ на каких-то интервалах совпадает с $f_0$, а на других действительно является прямой линией (см. моё предыдущее сообщение).

Проблема только в том что я не знаю как понять где находятся интервалы на которых уравнение ЭЛ должно выполняться.

-- 25.05.2024, 10:47 --

P.S. Возьмите для простоты $r = 0$. В этом случае легче всего понять что $f$ должна быть наименьшей неубывающей вогнутой мажорантой $f_0$, а не прямой линией.

[DeBill]

knodd в сообщении #1640184 писал(а):

Я пытаюсь решить задачу минимизации следующего функционала

$$ \int_0^1 ( f'(t)^2 + g'(t)^2 - 2 \, r f'(t) g'(t) ) \, dt $$

по множеству пар $(f, g)$ таких что $f(t) \geq f_0(t)$ и $g (t) \geq g_0(t)$ для всех $t$. $g_0(t)$ и $f_0(t)$ это какие-то фиксированные функции и $r \in (0, 1)$.

Странная задача...
В случае, когда функции $f_0, g_0$ ограничены сверху:
Если $r^2 \le 1$ трехчлен $P(x,y)=x^2 +y^2 -2rxy$ неотрицателен, и минимум (равный 0) достигается на функциях $f(t)=C_1, g(t) = C_2$, с достаточно большими константами (чтоб неравенства выполнились). Если $r^2>1$, то $P(a,b)<0$ для некоторых $a,b$, и на последовательности $f_n(t)= nat +C_{1,n}, g_n(t)=nbt+C_{2,n}$ (с достаточно большими константами (чтоб неравенства выполнились)) функционал уходит на "минус-бесконечность."

Если же $f_0, g_0$ не ограничены сверху: Коши-Буняковский ($(\int\limits_{}^{} f'(t)dt)^2 \le \int\limits_{}^{} (f'(t))^2dt \cdot (\int\limits_{}^{} dt)^2$) говорят за расходимость интегралов на всех допустимых парах функций.

knodd в сообщении #1640204 писал(а):

P.S. Возьмите для простоты $r = 0$. В этом случае легче всего понять что $f$ должна быть наименьшей неубывающей вогнутой мажорантой $f_0$, а не прямой линией.

Хорошее замечание . Действительно, видно, что все именно не так, а не не так.

[knodd]

Спасибо большое, я действительно забыл важное условие: $f(0) = g(0) = 0$. Без него всё так как Вы говорите и задача не имеет смысла. Этим условием отсекаются решения в виде констант и задача снова становится осмысленной.

То что решение

$$ \int_0^1 f'(t)^2 \, dt \to \min, \quad f(t) \geq f_0(t), \quad f(0) = f_0(0) = 0 $$

это наименьшая неубывающая вогнутая мажоранта известный факт. Я могу привести доказательство если нужно.

-- 25.05.2024, 12:46 --

Red_Herring в сообщении #1640185 писал(а):

Это все подробно написано в книгах Лионса–старшего и Ко (он много-много книг написал, с многими повторами)

Не могли бы Вы подсказать какие именно книги Вы имеете в виду? Это было бы очень полезно.

[Red_Herring]

knodd в сообщении #1640204 писал(а):

Проблема только в том что я не знаю как понять где находятся интервалы на которых уравнение ЭЛ должно выполняться.

Это вы найдете в процессе решения.

Вот пример из той же оперы: минимизировать $\int_0^1 ({u'}^2+2u) \,dx$ при ограничениях $u(0)=u(1)=0, u\ge u_0$. Это линеаризованная струна под нагрузкой, над уровнем $u_0$. Уравнение будет $(-u''+1)(u-u_0)=0 $, плюс $u\ge u_0$, $-u''+1 \ge 0$. Где-то струна свободна, а где-то ложится на $u_0$ . А вот где что находится в процессе решения. Задачи со свободными границами или задачи с неопределенными границами.

Вот еще один пример: точка скользит по куполу под действием силы тяжести, а где-то отрывается от купола и летит свободно.

knodd в сообщении #1640212 писал(а):

Не могли бы Вы подсказать какие именно книги Вы имеете в виду? Это было бы очень полезно.

Я их читал много десятков лет назад. Они есть на русском. Их было много, в отличие от Лионса-младшего папаша был изрядным халтурщиком, и ощипывал одного гуся много раз

[knodd]

Red_Herring Мне очень нравится ваш пример, но даже на нём я не понимаю вот что. Мне кажется (поправьте если я не прав), что в уравнениях

$$ \begin{cases} (-u'' + 1 ) ( u - u_0 ) = 0, \\ u \geq u_0, \\ -u'' + 1 \geq 0, \end{cases} $$

недостаточно информации чтобы определить $Z = \{ x \colon u(x) = u_0(x) \}$. А ведь это единственное чего не хватает чтобы определить вид решения: так как $Z$ замкнутое, значит $Z^c = \bigcup_n (a_n, b_n)$. Следовательно, решение $u$ совпадает с $u_0$ на $Z$ и является решением $-u'' + 1 = 0$, $u(a_n) = u_0(a_n)$, $u(b_n) = u_0(b_n)$ на интервалах из $Z^c$.

-- 25.05.2024, 13:15 --

Видно что

$$ Z \subset \{ x \colon -u_0'' (x) + 1 \geq 0 \}. $$

но неясно есть ли обратное включение? Кажется что вообще говоря нет.

[Red_Herring]

knodd в сообщении #1640215 писал(а):

Мне кажется (поправьте если я не прав), что в уравнениях

Там еще граничные условия $u(0)=u(1)=0$ (не забыли?). Рассмотрим самый простой случай: $u_0$ константа. Вы рисуете параболу. Если $u_0$ внизу, то решение будет этой параболой. А если парабола натыкается на препятствие, то решение после этого становится $u_0$, а потом отрывается и снова парабола.

[knodd]

Red_Herring Хорошо, это понятно. Но как описать момент отрывания в терминах $u_0$? Пусть $u (0) = u_0 ( 0 ) = 0$. Как понять в какой момент $u$ должно оторваться от $u_0$?

Верно ли например что $u$ отрывается от $u_0$ как только $-u_0'' + 1 < 0$ и не отрывается до этого?

[svv]

knodd в сообщении #1640204 писал(а):

С этими условиями при $r < 0$, как я написал выше, решение это наименьшие неубывающие вогнутые мажоранты функций из условий.

Нет. Всё те же прямые линии. Только поднятые добавлением констант на столько, чтобы условия выполнялись. DeBill расписал это подробнее.

-- Сб май 25, 2024 13:05:52 --

knodd в сообщении #1640212 писал(а):

я действительно забыл важное условие: $f(0) = g(0) = 0$

А, теперь понятно.

[knodd]

В рассуждении про константы верно вот что: решение хочет стать константой как можно скорее. В смысле, правый конец в моей постановке свободный. Но трудность которую не получается преодолеть не в этом.

[Red_Herring]

knodd в сообщении #1640217 писал(а):

Red_Herring Хорошо, это понятно. Но как описать момент отрывания в терминах $u_0$? Пусть $u (0) = u_0 ( 0 ) = 0$. Как понять в какой момент $u$ должно оторваться от $u_0$?

Верно ли например что $u$ отрывается от $u_0$ как только $-u_0'' + 1 < 0$ и не отрывается до этого?

Да, отрыв происходит в этот момент. Принципиально важно: где что происходит находится в процессе нахождения решения, не до того.

[knodd]

Red_Herring Видимо я не понимаю что Вы имеете в виду. Мне хотелось бы решить задачу для всех $u_0$ сразу, как в моём ответе с минимальной неубывающей мажорантой, а не для конкретного $u_0$. Для этого важно понять как множество точек отрыва/приклеивания обратно устроено.

А как понять что отрыв происходит именно в этот момент? Что именно запрещает решению $u$ перестать совпадать с $u_0$ в той области где $-u_0'' + 1 \geq 0$? Вроде ни одно из уравнений этого не требует.

[Red_Herring]

knodd в сообщении #1640224 писал(а):

А как понять что отрыв происходит именно в этот момент?

Не раньше