Задача из матана

[Gg322]

$$\int\limits_{x^2+y^2 \leqslant 1} e^x \cos(y)dxdy$$

Не понимаю как решить

[svv]

Следующим способом — устно:
1) Проверьте, что функция $f(x,y)=e^x\cos y$ гармоническая, то есть удовлетворяет уравнению Лапласа (двумерному).
2) Используйте теорему о среднем для гармонической функции.

[vpb]

Тут можно и не вспоминать даже про гармонические функции и уравнение Лапласа, а заметить, что подынтегральная функция --- это действительная часть от $e^z$. А потом применить теорему о среднем по окружности или кругу для аналитических функций (и, следовательно, для их действительных частей). См. любой учебник по ТФКП. С методической точки зрения это имеет то преимущество, что ТФКП обычно проходят раньше, чем УрЧП.

(Кстати, пытался я решить задачу "обычным" (действительным) матаном, и что-то не выходит.)

[Gg322]

svv,vpb
Спасибо, помогли!