2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача из матана
Сообщение25.05.2024, 17:50 
$$\int\limits_{x^2+y^2 \leqslant 1} e^x \cos(y)dxdy$$
Не понимаю как решить

 
 
 
 Re: Задача из матана
Сообщение25.05.2024, 22:05 
Аватара пользователя
Следующим способом — устно:
1) Проверьте, что функция $f(x,y)=e^x\cos y$ гармоническая, то есть удовлетворяет уравнению Лапласа (двумерному).
2) Используйте теорему о среднем для гармонической функции.

 
 
 
 Re: Задача из матана
Сообщение25.05.2024, 22:54 
Тут можно и не вспоминать даже про гармонические функции и уравнение Лапласа, а заметить, что подынтегральная функция --- это действительная часть от $e^z$. А потом применить теорему о среднем по окружности или кругу для аналитических функций (и, следовательно, для их действительных частей). См. любой учебник по ТФКП. С методической точки зрения это имеет то преимущество, что ТФКП обычно проходят раньше, чем УрЧП.

(Кстати, пытался я решить задачу "обычным" (действительным) матаном, и что-то не выходит.)

 
 
 
 Re: Задача из матана
Сообщение25.05.2024, 23:24 
svv,vpb
Спасибо, помогли!

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group