Школьная задача на простые числа

[StepV]

Уважаемые коллеги! Налетел на школьную задачу, с которой не могу справиться:
Для каких простых чисел $p$ числа $2 \cdot p +1$ и $4 \cdot p + 1$ тоже простые?
Может это даже известная задача для специалистов по теории чисел. У меня получилось методом подбора $p=3$ и доказать, что $2 \cdot p +1$ и $4 \cdot p + 1$ взаимно простые числа.
Подскажите идеи для решения.

[mihaild]

Посмотрите что происходит по модулю $3$.

[StepV]

mihaild в сообщении #1640153 писал(а):

Посмотрите что происходит по модулю $3$.

Начиная с натурального $n=3$ в тройке: $n;2n+1;4n+1$ одно из чисел делится на три, т.е. простыми числами будут числа при $n=3$. В остальных тройках обязательно одно число делится на $3$.
Представляем три случая:$n=3k$;$n=3k+1$;$n=3k+2$. Вычисляем для этих чисел остатки и получаем искомый вывод.
Спасибо за идею.