2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Школьная задача на простые числа
Сообщение24.05.2024, 16:48 
Аватара пользователя


23/05/20
409
Беларусь
Уважаемые коллеги! Налетел на школьную задачу, с которой не могу справиться:
Для каких простых чисел $p$ числа $2 \cdot p +1$ и $4 \cdot p + 1$ тоже простые?
Может это даже известная задача для специалистов по теории чисел. У меня получилось методом подбора $p=3$ и доказать, что $2 \cdot p +1$ и $4 \cdot p + 1$ взаимно простые числа.
Подскажите идеи для решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задача на простые числа
Сообщение24.05.2024, 16:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9215
Цюрих
Посмотрите что происходит по модулю $3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задача на простые числа
Сообщение24.05.2024, 18:16 
Аватара пользователя


23/05/20
409
Беларусь
mihaild в сообщении #1640153 писал(а):
Посмотрите что происходит по модулю $3$.


Начиная с натурального $n=3$ в тройке: $n;2n+1;4n+1$ одно из чисел делится на три, т.е. простыми числами будут числа при $n=3$. В остальных тройках обязательно одно число делится на $3$.
Представляем три случая:$n=3k$;$n=3k+1$;$n=3k+2$. Вычисляем для этих чисел остатки и получаем искомый вывод.
Спасибо за идею.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group