2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вероятность выбора элементов, порождающих абелеву группу
Сообщение19.05.2024, 16:01 


26/02/24
12
Изучая вопрос вычисления вероятности выбора $k$ элементов в конечной абелевой группе, порождающих всю эту группу (где $k$ - это мощность минимального порождающего множества), мною были найдены статьи, где вычисляется такая вероятность при следующей структуре группы $G$:
$$G=\mathbb{Z}_{p^{n_{1}}}\oplus\mathbb{Z}_{p^{n_{2}}}\oplus\ldots\oplus\mathbb{Z}_{p^{n_{k}}},$$ где $n_{i}\in \mathbb{N}, i\in{\{1,\ldots,\ k}\}, p - $ простое. Определим $n = \sum_{i = 1}^kn_{i}. $ Тогда
$$P(A_{G}) = \frac{p^{k(n-k)}\prod\limits_{i = 0}^{k-1}(p^k-p^i)}{\prod\limits_{j = 0}^{k-1}(p^n-j)}$$
(событие $A_{G}$ -случайно выбранный набор элементов будет системой образующих группы $G$).Но далее у меня возник вопрос, как вычислять вероятность этого события, если основания у порядков примарных циклических групп различны, то есть не только $p$ присутствует. Тогда мною была найдена следующая статья: https://msp.org/involve/2013/6-4/involv ... -p04-s.pdf, в которой рассматриваются некоторые частные случаи, для вычисления вероятности которых присутствуют предположения и гипотезы автора, например:
$$G = \mathbb{Z}_{p^{n_{1}}}\oplus\mathbb{Z}_{p^{n_{2}}}\oplus\mathbb{Z}_{q^{n_{3}}}\oplus\mathbb{Z}_{q^{n_{4}}},$$
где $n_{i}\in \mathbb{N}, i\in{\{1,\ldots,\ 4}\}, p, q - $ простые, тогда
$$P(A_{G}) = \frac{p^{2({n_{1}}+{n_{2}}-2)}q^{2({n_{3}+n_{4}-2})}(p^2-1)(p^2-p)(q^2-1)(q^2-q)}{p^{n_{1}}^+^{n_{2}}q^{n_3}^+^{n_{4}}(p^{n_{1}}^+^{n_{2}}q^{n_3}^+^{n_{4}}-1)}$$
(В статье, правда, числитель немного отличается от написанного, так как там перемножили скобки $(p^2-1)$ и $(q^2-1)$, а также $(p^2-p)$ и $(q^2-q)$).
Как видно отсюда и как замечено в статье формула аналогична предыдущей, но для случая случая, когда $G=\mathbb{Z}_{p^{n_{1}}}\oplus\mathbb{Z}_{p^{n_{2}}}\oplus\mathbb{Z}_{p^{n_{3}}}\oplus\mathbb{Z}_{q^{n_{4}}}$, где $n_{i}\in \mathbb{N}, i\in{\{1,\ldots,\ 4}\}, p, q - $ простые, не совсем понятно, откуда появляется скобка $(q^3-1)$ и как она связана с множителем $q^{n_{4}}$:
$$P(A_{G}) = \frac{p^{3({n_{1}}+{n_{2}}+{n_{3}}-3)}q^{n_{4}-1}(p^3-1)(p^3-p)(p^3-p^2)(q^3-1)}{p^{{n_{1}}+{n_{2}}+{n_{3}}}q^{n_4}(p^{n_{1}}^+^{n_{2}}^+^{n_{3}}q^{n_4}-1)(p^{n_{1}}^+^{n_{2}}^+^{n_{3}}q^{n_4}-2)}?$$
Мне казалось, что раз в статье указано, что $k$ - это мощность минимального порождающего множества (а в данном случае она равна 3), то у $q$ разве не должна быть степень $q^{3(n_{4} - 3)}?$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group