Вероятность выбора элементов, порождающих абелеву группу

[moonruleni9ne]

Изучая вопрос вычисления вероятности выбора $k$ элементов в конечной абелевой группе, порождающих всю эту группу (где $k$ - это мощность минимального порождающего множества), мною были найдены статьи, где вычисляется такая вероятность при следующей структуре группы $G$:

$$G=\mathbb{Z}_{p^{n_{1}}}\oplus\mathbb{Z}_{p^{n_{2}}}\oplus\ldots\oplus\mathbb{Z}_{p^{n_{k}}},$$

где $n_{i}\in \mathbb{N}, i\in{\{1,\ldots,\ k}\}, p - $ простое. Определим $n = \sum_{i = 1}^kn_{i}. $ Тогда

$$P(A_{G}) = \frac{p^{k(n-k)}\prod\limits_{i = 0}^{k-1}(p^k-p^i)}{\prod\limits_{j = 0}^{k-1}(p^n-j)}$$

(событие $A_{G}$ -случайно выбранный набор элементов будет системой образующих группы $G$).Но далее у меня возник вопрос, как вычислять вероятность этого события, если основания у порядков примарных циклических групп различны, то есть не только $p$ присутствует. Тогда мною была найдена следующая статья: https://msp.org/involve/2013/6-4/involv ... -p04-s.pdf, в которой рассматриваются некоторые частные случаи, для вычисления вероятности которых присутствуют предположения и гипотезы автора, например:

$$G = \mathbb{Z}_{p^{n_{1}}}\oplus\mathbb{Z}_{p^{n_{2}}}\oplus\mathbb{Z}_{q^{n_{3}}}\oplus\mathbb{Z}_{q^{n_{4}}},$$

где $n_{i}\in \mathbb{N}, i\in{\{1,\ldots,\ 4}\}, p, q - $ простые, тогда

$$P(A_{G}) = \frac{p^{2({n_{1}}+{n_{2}}-2)}q^{2({n_{3}+n_{4}-2})}(p^2-1)(p^2-p)(q^2-1)(q^2-q)}{p^{n_{1}}^+^{n_{2}}q^{n_3}^+^{n_{4}}(p^{n_{1}}^+^{n_{2}}q^{n_3}^+^{n_{4}}-1)}$$

(В статье, правда, числитель немного отличается от написанного, так как там перемножили скобки $(p^2-1)$ и $(q^2-1)$, а также $(p^2-p)$ и $(q^2-q)$).
Как видно отсюда и как замечено в статье формула аналогична предыдущей, но для случая случая, когда $G=\mathbb{Z}_{p^{n_{1}}}\oplus\mathbb{Z}_{p^{n_{2}}}\oplus\mathbb{Z}_{p^{n_{3}}}\oplus\mathbb{Z}_{q^{n_{4}}}$, где $n_{i}\in \mathbb{N}, i\in{\{1,\ldots,\ 4}\}, p, q - $ простые, не совсем понятно, откуда появляется скобка $(q^3-1)$ и как она связана с множителем $q^{n_{4}}$:

$$P(A_{G}) = \frac{p^{3({n_{1}}+{n_{2}}+{n_{3}}-3)}q^{n_{4}-1}(p^3-1)(p^3-p)(p^3-p^2)(q^3-1)}{p^{{n_{1}}+{n_{2}}+{n_{3}}}q^{n_4}(p^{n_{1}}^+^{n_{2}}^+^{n_{3}}q^{n_4}-1)(p^{n_{1}}^+^{n_{2}}^+^{n_{3}}q^{n_4}-2)}?$$

Мне казалось, что раз в статье указано, что $k$ - это мощность минимального порождающего множества (а в данном случае она равна 3), то у $q$ разве не должна быть степень $q^{3(n_{4} - 3)}?$