Что такое замыкание графика?

[Bixel]

Цитата:

Для функций $f: \mathbb R \to \mathbb R$ определите замыкание графика $f(x) = \begin{cases}x\sin(\frac 1x) & x \ne 0, \\ 1 & x = 0\end{cases}$

Поскольку пока я не уверен в опpеделений термина "замыкание", я хотел бы рассмотреть другую функцию для чьего графика замыкание известно.

К примеру,
$\overline{\{(x, \sin(\frac 1x): x \in \mathbb R, x \ne 0\}} \\ = \{(x, \sin(\frac 1x): x \in \mathbb R, x \ne 0\} \cup \text{ отрезок от (0, -1) до (0, 1) }$

Из багиллиона разных определений выбираем наиболее подходящее(как мне кажется).

Каждая точка графика имеет окрестность куда входят некие другие точки самого графика. Также для каждой точки на отрезке от $(0, -1)$ до $(0, 1)$ имеется окрестность пересекающаяся с графиком. Поэтому объединение графика с данным отрезком и есть замыкание для данного графика. Это требуется доказать, но для начала хотелось бы хотя бы научиться читать замыкание с изображения.

Руководствуясь вышесказанным и пока игнорируя $f(0) = 1$, думаю замыкание $\{(x, x\sin(\frac 1x): x \in \mathbb R, x \ne 0\}$ - это сам график плюс все точки на графиках функций $f(x) = x$ и $f(x) = -x$ (примерно) от $x = -0.7$ до $x = 0. 7$. Это верно?

[мат-ламер]

Bixel в сообщении #1639370 писал(а):

я хотел бы рассмотреть другую функцию для чьего графика замыкание известно.

Bixel в сообщении #1639370 писал(а):

К примеру, ...
\text{ отрезок от (0, -1) до (0, 1) }$

Вообще-то замыкание - это замкнутое множество. А что с этим у вашего "отрезка" (я бы назвал его интервалом, но не суть).

[Bixel]

мат-ламер

Я оформил равенство не совсем внятно. Да еще с терминами промахнулся. Вернее ниже

$\overline{graph}$ = graph $\cup$ segment that joins $(0, -1)$ and $(0, 1)$.

[мат-ламер]

Bixel в сообщении #1639381 писал(а):

segment that joins $(0, -1)$ and $(0, 1)$.

Так ли я понял, что термин "segment" подразумевает его замкнутость? Думаю, что да.

Если вы понимаете, почему этот ответ подходит к вашему новому примеру, который вы разобрали, то почему бы ему и не подходить в качестве ответа для исходной задачи? В чём там разница?

[eugensk]

Bixel в сообщении #1639370 писал(а):

Поскольку пока я не уверен в опpеделений термина "замыкание"

Как это, как это?

График вашей функции это множество в $\mathbb{R}^2$, в $\mathbb{R}^2$ есть расстояние (обычное, корень из квадратов разностей), раз есть расстояние, у точек есть окрестности. Предельная точка множества это такая, что в любой её окрестности есть точка из множества . Замкнутое множество - множество, содержащее все свои предельные точки. Замыкание множества - наименьшее из замкнутых множеств, его включающих. Всё, какие уж тут вариации.

Т.е. нужно взять кандидата, и проверить, что это множество $F$
1) замкнуто
2) включает график
3) если есть другое $G$, для которого выполняется 1) и 2), то оно больше (т.е. $F \subset G$)

[Bixel]

Ниже док-во того, что $\overline{graph} = graph \cup S$ для $\displaystyle{\left\{\left(x, \sin \left(\frac 1x\right)\right): x \in \mathbb R, x \ne 0\right\}}$ где $S$ есть какой-то сегмент.


Для любой точки $(0, t)$ с $-1 \le t \le 1$ выбираем $y>0$ так что $\sin y = t$.

Для любой окрестности $N$ точки $(0, t)$ выбираем $\varepsilon>0$ так что $B((0, t), \varepsilon) \subseteq N$.

Далее, по Архимеду существует $n$ такое что $n > \frac{1}{2\pi\varepsilon}$. Поэтому дистанция от $(0, t)$ до $\displaystyle{\left(\frac{1}{2n\pi + y}, \sin\left(\frac{1}{\frac{1}{2n\pi + y}}\right)\right) < \varepsilon}$.

Другими словами, нашли точку на графике внутри $B((0, t), \varepsilon)$ что означает эта точка внутри $N$. Таким образом $N$ пересекается с графиком. Поэтому $(0, t)$ лежит на замыканий графика.

Таким образом у нас есть сегмент $S$, соединяющий точки $(0, -1)$ и $(0, 1).$

Наконец, $\overline{graph} = graph \cup S$.

Можно ли адаптировать данное док-во для $x \to x\sin(\frac 1x)$?

Для любой точки $(0, t)$ с $-z \le t \le z$ выбираем $y>0$ так что $\sin y = t$. Только какие значения $z$ подходят в этом случае если вообще можно начинать новое док-во таким образом?

Перед тем как приступать к док-ву у людей обычно есть какая-то интуиция относительно задачи и мне кажется авторы док-ва знали про сегмент $S$ заранее. Только откуда и как?

[Null]

Bixel в сообщении #1639478 писал(а):

Только откуда и как?

Нарисуйте график этой функции на бумаге.

[мат-ламер]

Bixel в сообщении #1639478 писал(а):

Можно ли адаптировать данное док-во для $x \to x\sin(\frac 1x)$?

Вы получили замыкание - замкнутое множество, которое содержит график первой функции. Теперь к графику добавили ещё точку. Но эта точка лежит в ранее полученном замыкании. Значит первоначальное замыкание будет замыканием и для нового графика.

[Bixel]

мат-ламер в сообщении #1639481 писал(а):

Теперь к графику добавили ещё точку

Какая именно точка? Я ее не вижу.

[Bixel]

мат-ламер

Я вас кажется понял.

Все точки $(x, y)$ где $x \in (-\infty, \infty)}$ на графике. Единственно возможно проблематичную, то есть $(0, 1)$, тоже починили. Тогда $\overline{graph} = graph$. Я не вижу других кандидатов в предельные точки. Надо наверно еще доказать что других предельных точек нет.

Значит все что было написано в моем первом посте неверно.

Теперь нужно доказать

1. все точки множества $X = (-\infty, \infty) \times \operatorname{ran(f)}$ есть предельные точки $X$.

2. больше у $X$ нет предельных точек.

Нетрудо сделать если мы работаем с интервалами, но я никогда не видел как это делается в двухмерном пространстве.

[EUgeneUS]

Bixel в сообщении #1639516 писал(а):

Все точки $(x, y)$ где $x \in (-\infty, \infty)$ на графике. Единственно возможно проблематичную, то есть $(0, 1)$, тоже починили. Тогда $\overline{graph} = graph$. Я не вижу других кандидатов в предельные точки. Надо наверно еще доказать что других предельных точек нет.

Ага, попробуйте доказать.

(хинт)

Это задание на внимательность. Вообще-то в нуле функцию доопределили не предельной точкой, а другой

[мат-ламер]

Bixel в сообщении #1639516 писал(а):

Значит все что было написано в моем первом посте неверно.

Зачем же так сразу.

Bixel в сообщении #1639516 писал(а):

Теперь нужно доказать

1. все точки множества $X = (-\infty, \infty) \times \operatorname{ran(f)}$ есть предельные точки $X$.

С чего бы это так.

Bixel в сообщении #1639516 писал(а):

Надо наверно еще доказать что других предельных точек нет.

Вне любой окрестности оси ординат мы имеем кривую (которая задаётся у нас непрерывной функцией). Можете поупражняться в доказательстве, что это есть замкнутое множество.

[Bixel]

EUgeneUS

Я решил спросить ChatGPT как доказать $(0, 1)$ - эта предельная точка. Сначала он выдал хорошый ответ с парой ошибок. Я спросил его позже, но он больше этот ответ не выдает. Выдает только новые док-ва. Если память мне не изменяет он говорил след.:

Для любой окрестности $(0, 1)$ внутри $B(0, \varepsilon)$, мы можем наити $x_n$ для которой $f(x_n) \ne 1$. Это потому что функция дико колеблется в $\varepsilon$-районе нуля и берет значения от $-1$ до $1$. То есть в любой окрестности $(0, 1)$ имеется точка $(x_n, y_n) \ne (0, 1).$

Чтоб доказать что больше предельных точек нет, берем какую-нибудь точку $(a, b)$ за пределами графика и находим ей окрестность куда не попадает ни однa точка на графике. Пускай $\varepsilon$ дистанция от ближайшей точки на графике до $(a, b)$. Тогда $graph \cup B((a, b), \frac{\varepsilon}{2}) = \varnothing$.

мат-ламер в сообщении #1639576 писал(а):

С чего бы это так.

Я думаю $X$ это график $f$ для которой $f(0) = 1.$

[мат-ламер]

Bixel
Вы пробовали график строить:

Null в сообщении #1639479 писал(а):

Нарисуйте график этой функции на бумаге.

[мат-ламер]

Bixel в сообщении #1639516 писал(а):

Значит все что было написано в моем первом посте неверно.

Там была ссылка на некий отрезок ординат. Это неверно. Для той задачи, для которой, как вам казалось, ответ известен:

Bixel в сообщении #1639370 писал(а):

я хотел бы рассмотреть другую функцию для чьего графика замыкание известно.

отрезок на оси ординат не входит в замыкание графика. Если мы бы доопределили функцию нулём в начале координат, то мы бы получили непрерывную функцию. Значит замыкание графика в той дополнительной задаче - добавить к графику функции начало координат.

Теперь рассмотрим исходную задачу. Начало координат тут тоже добавится к замыканию. Но к ней просто добавиться ещё одна точка - $(0,1)$ . Точка есть замкнутое множество. Объединение двух замкнутых множеств есть тоже замкнутое множество.

-- Вс май 19, 2024 16:54:35 --

мат-ламер в сообщении #1639635 писал(а):

Там была ссылка на некий отрезок ординат.

Замкнутый отрезок, соединяющий точки $(0,-1)$ и $(0,1)$ , добавляется к замыканию графика для функции $f(x)=\sin (1/x)$ (для $x \ne 0$) . То есть у вас небольшая путаница возникла.

-- Вс май 19, 2024 17:14:16 --

Bixel в сообщении #1639585 писал(а):

Я решил спросить ChatGPT как доказать $(0, 1)$ - эта предельная точка.

Вы поставили ИИ в тупик Эта точкой не является предельной.

Bixel в сообщении #1639585 писал(а):

Это потому что функция дико колеблется в $\varepsilon$-районе нуля и берет значения от $-1$ до $1$. То есть в любой окрестности $(0, 1)$ имеется точка $(x_n, y_n) \ne (0, 1).$

Тут ИИ напутал. Да, функция колеблется, но не дико. При стремлении аргумента к нулю колебания уменьшаются.

-- Вс май 19, 2024 17:17:41 --

Bixel в сообщении #1639516 писал(а):

Теперь нужно доказать

1. все точки множества $X = (-\infty, \infty) \times \operatorname{ran(f)}$ есть предельные точки $X$.

мат-ламер в сообщении #1639576 писал(а):

С чего бы это так.

Bixel в сообщении #1639585 писал(а):

Я думаю $X$ это график $f$ для которой $f(0) = 1.$

Либо это полная ерунда, либо я не понял ваши обозначения. Как это вообще выглядит геометрически? Обрисуйте словами.

-- Вс май 19, 2024 17:20:47 --

мат-ламер в сообщении #1639481 писал(а):

Вы получили замыкание - замкнутое множество, которое содержит график первой функции. Теперь к графику добавили ещё точку. Но эта точка лежит в ранее полученном замыкании. Значит первоначальное замыкание будет замыканием и для нового графика.

Тут я написал ерунду. Новая точка не лежит в ранее полученном замыкании. Её туда надо добавить.