Теорема о забывающем функторе из категории групп

[EminentVictorians]

Маклейн, стр.131, Теорема 2 писал(а):

Теорема 2.Пусть $H: J \to \mathbf{Grp}$ - некоторый функтор, $U:\mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}$ - забывающий функтор, причем $UH$ имеет в категории $\mathbf{Set}$ предел $L$ и предельный конус $\nu: L\dot{\to}UH$. Тогда существует единственная структура группы на множестве $L$ такая, что все стрелки $\nu_j:L \to UH_j$ конуса $\nu$ становятся морфизмами групп; эта группа $L$ является пределом для $H$ в категории $\mathbf{Grp}$ с предельным конусом $\nu$.
Доказательство. Ввиду теоремы 1 возьмем $L = Cone(\ast, H)$; произведение двух конусов $\sigma, \tau \in Cone(\ast, UH)$ зададим формулой $(\sigma \tau)_j = \sigma_j \tau_j$, а обратный элемент - формулой $(\sigma^{-1})_j = (\sigma_j)^{-1}$ (здесь произведение и обратный элемент взяты в группе $H$). Эти определения превращают $L$ в группу, а каждую компоненту конуса $\nu$ - в морфизм групп. Обратно, если $\nu$ имеет вид $\tau \to \tau_j$ и при каждм $j$ определяет морфизм групп, то произведение конусов $\sigma, \tau \in L$ должно иметь указанный вид.
Пусть теперь $G$ - произвольная группа, $\lambda: G \dot{\to} H$ - некоторый конус в категории $\mathbf{Grp}$ (состоящий из морфизмов групп $\lambda_j: G \to H_j, j \in J$). Тогда $U\lambda : UG \dot{\to} UH$ - конус в категории $\mathbf{Set}$, и по универсальности получаем, что $(U \lambda = (U\nu)h$ для единственной функции $h: UG \to L$. Для любых двух элементов $g_1, g_2 \in G$ имеем

$$(h(g_1g_2))_j = \lambda_j(g_1g_2) = (\lambda_jg_1)(\lambda_jg_2) = (hg_1)_j(hg_2)_j = ((hg_1)(hg_2))_j$$

поскольку $\lambda$ - морфизм групп, то это верно и для $h$. Это означает, что $L$ действительно является пределом в $\mathbf{Grp}$.

Я так понимаю (и Маклейн далее об этом пишет), что в этой теореме по сути доказывается, что забывающий функтор $U: \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}$ создает пределы для функтора $H: J \to \mathbf{Grp}$.

В самом этом факте у меня сомнений нету, но доказательство Маклейна мне как-то не очень нравится. Начиная буквально с первой строчки:

Цитата:

Ввиду теоремы 1 возьмем $L = Cone(\ast, H)$;

Чтобы доказать, что функтор $U$ создает пределы для функтора $H$, надо доказать, что для произвольного предельного конуса $L \dot{\to} UH$ в категории $\mathbf{Set}$ найдется его "прообраз" (тоже предельный конус) в категории $\mathbf{Grp}$, причем единственный. А Маклейн берет вполне конкретный предельный конус с вершиной в вполне конкретном множестве $Cone(\ast, H)$ и строит его прообраз. Так разве можно?

[dgwuqtj]

EminentVictorians в сообщении #1639247 писал(а):

Так разве можно?

Если всё делать совсем формально, то надо повозиться. А если делать как обычно, то просто говорят, что предельные конусы изоморфны, и берут какой-то конкретный.

[EminentVictorians]

dgwuqtj в сообщении #1639248 писал(а):

Если всё делать совсем формально, то надо повозиться. А если делать как обычно, то просто говорят, что предельные конусы изоморфны, и берут какой-то конкретный.

Да, я примерно так и думал. Хорошо, что здесь нету никакого второго дна.

Попробую тогда написать более подробное доказательство этой теоремы.

Дано:
$H: J \to Grp$ - произвольный функтор из произвольной (малой) категории $J$.
$U: Grp \to Set$ - забывающий функтор.

Теорема:
Функтор $U$ создает пределы для функтора $H$.

Доказательство:

1) Рассмотрим произвольный предельный конус в категории Set с вершиной $UL$, основанием $UH_j$ и проекциями $U \nu_j$ (т.е. естественное преобразование вида $\Delta(UL) \dot{\to} UH$). Пока все эти обозначения типа $UL$ надо воспринимать просто как имена, а не как значение $U(L)$ функтора $U$ на группе $L$ (кроме $UH_j$ - это в точности и есть $U(H_j)$). Потом, разумеется, будет доказано, что найдется группа $L$ такая, что $UL = U(L)$ и обозначения получат свой обычный смысл, но пока это еще не доказано.

2) Далее, зафиксируем какое-нибудь конкретное одноточечное множество, пусть $\{\varnothing\}$ и обозначим его $\ast$. Полнота в малом категории Set уже известна, поэтому просто рассматриваем множество $UCone(\ast, UH_j)$ конусов из $\ast$ в $UH$ вместе с проекциями $Up_j: UCone \to UH_j$ ($j \in J$). Опять, $UCone$ и $Up_j$ - это просто имена, но скоро будет доказано, что $UCone = U(Cone)$ для некоторого $Cone \in Grp$, и точно так же про проекции $Up_j$. Этот конус (с вершиной $UCone$ и проекциями $Up_j$ - предельный.

3) Т.к. оба рассмотренных выше конуса - предельные, значит их вершины изоморфны. Это значит, что существует биекция $t: UCone \to UL$ и ей обратная $t^{-1}$, причем обе понятным образом согласованы с проекциями этих конусов.

4) Определим структуру группы на UCone. Для конусов $\sigma$ и $\tau$ определим $\sigma \tau$ по формуле $(\sigma \tau)_j = \sigma_j \circ \tau_j$, где $\circ$ - операция в группе $H_j$. Единицу определим по формуле $e_j = \text{единица группы} H_j$. Обратный элемент определим по формуле $(\sigma^{-1})_j = (\sigma_j)^{-1}$. Докажем, что множество $UCone$ с таким образом определенной операцией действительно является группой.
Возьмем произвольные конусы $\sigma, \tau , \pi$ (и произвольный $j \in J$).
$[(\sigma \tau)\pi]_j = (\sigma \tau)_j \circ \pi_j = (\sigma_j \circ \tau_j) \circ \pi_j = \sigma_j \circ (\tau_j \circ \pi_j) = \sigma_j \circ (\tau \pi)_j = [\sigma(\tau \pi)]_j$ (ассоциативность)

$(\sigma \e)_j = \sigma_j \cicr e_j = \sigma_j$ $\Rightarrow$ $\sigma \e = \sigma$. (единица)

$(\sigma \sigma^{-1})_j = \sigma_j \circ (\sigma^{-1})_j = \sigma_j \circ (\sigma_j)^{-1} = e_j $ $\Rightarrow$ $\sigma \sigma^{-1} = e$ (обратный)

Таким образом, доказали, что множество $UCone$ с вышеопределенной операцией является группой. Эту группу обозначим как $Cone$.

5)Докажем, что функции $Up_j$ в действительности являются гомоморфизмами групп.
$(Up_j)(\sigma \tau) = (\sigma \tau)_j = \sigma_j \circ \tau_j = (Up_j)(\sigma) \circ (Up_j)(\tau)$

6)Получается, что мы доказали существование группы $Cone$ с носителем $UCone$ и гомоморфизмов $p_j: Cone \to H_j$, которые как функции представляют собой функции $Up_j: UCone \to UH_j$. Короче говоря, мы нашли конус, который является "прообразом" конуса $(UCone, UH_j)$.

7)Этим и тремя следующими пунктами будем доказывать, что найденный конус универсален в категории Grp.
Пусть теперь $\Delta G \dot{\to} H = (G, \lambda_j, H_j)$ - произвольный конус в Grp с вершиной в $G$ и основанием $H$.
Возьмем произвольный элемент $g \in G$.
Рассмотрим конус $c(g) \in Cone$, $\quad$ $\quad$ $c(g): \Delta\ast \dot{\to} H$, $\quad$ $\quad$ $[c(g)]_j = \lambda_j(g)$
Функцию вида $G \to Cone$, ставящую в соответствие каждому элементу $g \in G$ конус $c(g)$ обозначим $c()$.

8)Докажем, что $c()$ - гомоморфизм.
Возьмем произвольные $x, y \in G$
$[c(xy)]_j = \labda_j(xy) = \lambda_j(x) \circ \lambda_j(y) = [c(x)]_j \circ [c(y)]_j$
$[c(x) c(y)]_j = [c(x)]_j \circ [c(y)]_j$ (по определению умножения в группе Cone).
Правые части совпали, значит все хорошо, т.е. $c()$ - гомоморфизм.

9) Докажем, что $c()$ "связывает конусы", т.е. что $p_j(c()) = \lambda_j$.
Опять берем произвольный элемент $g \in G$ и проследим за его судьбой:
$p_j(c(g)) = [c(g)]_j = \lambda_j(g)$, что и требовалось доказать.

10)Универсальность найденного в п.6 конуса пока еще не доказана. Осталось доказать единственность функции $c$.
Пусть $d: G \to Cone$ - какой-то произвольный гомоморфизм, удовлетворяющий всем нужным свойствам.
Опять берем произвольный $g \in G$.
$p_j(d(g)) = \lambda_j(g) = [c(g)]_j = p_j(c(g))$, причем $j$ у нас тут произвольная, т.е. это равенство выполняется при любом $j$.
Это может быть только в случае $d(g) = c(g)$
А учитывая, что у нас и $g$ произвольный, получаем, что $d = c$, что и хотели доказать.

11)Универсальность конуса $Cone$ в категории Grp установили. Теперь возвращаемся к нашему конусу $UL$ из п. 1).
$UL$ - это пока всего лишь множество. Но оно находится в биективном соответствии $t$ (см. п. 3) с множеством $UCone$.
Воспользуемся тем, что на $UCone$ есть групповая сруктура (та самая группа Cone) и с помощью биекции $t$ перенесем групповую структуру с $Cone$ на $UL$.
Короче говоря, определим на $UL$ групповую операцию по следующему принципу:
Для $x, y \in UL$: $xy = t(t^{-1}(x) \cdot t^{-1}(y))$, где $\cdot$ - групповая операция на $Cone$.
Полученную группу, как не сложно догадаться, обозначим буквой $L$.

12)Осталось доказать, что $U \nu_j$ - не просто функции, а гомоморфизмы.

$$(U \nu_j)(xy) = (U \nu_j)[t(t^{-1}(x) \cdot t^{-1}(y))] = (Up_j)(t^{-1}(x) \cdot t^{-1}(y))=$$

$$= (p_j)(t^{-1}(x) \cdot t^{-1}(y)) = (p_j)(t^{-1}(x)) \cdot (p_j)(t^{-1}(y)) = $$

$$=(U \nu_j)(x) \cdot (U \nu_j)(y)$$

Доказали, что $(U \nu_j)$ - гомоморфизмы, а значит опять можно снять $U$ и уже смело говорить про $\nu_j$ как гомоморфизмы из Grp.

13)Осталось доказать универсальность этого конуса с вершиной $L$.
Возьмем нашу старую добрую функцию $t^{-1}: UL \to UCone$ и посмотрим, не будет ли она гомоморфизмом.
Берем произвольные $x, y \in L$
$t^{-1}(xy) = t^{-1}(t(t^{-1}(x) \cdot t^{-1}(y))) = t^{-1}(x) \cdot t^{-1}(y)$ (все эти прямые и обратные функции снимаются, т.к. $t^{-1}$ - биекция).
Красота, $t^{-1}$ - гомоморфизм. А на самом деле еще и изоморфизм.

14) А кому оказалась изоморфна наша группа $L$? Она оказалась изоморфна группе $Cone$, которая, как мы где-то выше выяснили, является вершиной универсального конуса. А значит и наш полученный конус с вершиной в $L$ тоже универсальный. На самом деле, это надо бы расписать, но я уже в совсем невменяемом состоянии, поэтому, пожалуй, на сегодня хватит)) Кстати, надо еще единственность этого конуса с вершиной $L$ доказывать.

[dgwuqtj]

Ага, как-то так. Ну или можно вместо $UCone$ сразу брать подмножество произведения $H_j$ и проверять, что это подгруппа. Ещё со всякими категориями алгебр повезло, что для них $U$ строгий, поэтому не надо проверять, что конус $Cone$ коммутативен.

[EminentVictorians]

Вообще, мне не очень нравятся такого рода доказательства. Очень много низкоуровневого копания в земле. Имхо, это показатель того, что утверждение написано в учебнике слишком рано. Сначала должен быть выстроен комплекс хороших теорем про функторы, сохраняющие и создающие пределы, а потом уже должна идти эта теорема.