Для демонстрации применимости работы [1] численно было выполнено в Maple 15 интегрирование уравнения
![$$T_t = T_{xx} + T(1-T^2)$$ $$T_t = T_{xx} + T(1-T^2)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/8/b780ca6d53a936bb621790b32dc61b4982.png)
с начальным условием
![$$
T(x, 0) = \begin {cases}
0, &\text{если $x<20$}; \\
1, &\text{если $x\ge 20$.}
\end {cases}
$$ $$
T(x, 0) = \begin {cases}
0, &\text{если $x<20$}; \\
1, &\text{если $x\ge 20$.}
\end {cases}
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/6/686264ed55d09285ee8f00161f01bf4882.png)
[Так как Maple находит решение краевой задачи, для численного интегрирования задавались условия
![$T(-50, t) = 0$ $T(-50, t) = 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/5/15504fc9f5a5cc9f1316ac147db1a5f782.png)
,
![$T(50, t) = 1$ $T(50, t) = 1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/7/1574115aff6daa56d84fdf84e60b87aa82.png)
. Значение 50 было подобрано из соображений, чтобы граничные условия практически не оказывали влияния на решение.]
На рис. построены профили решения в моменты времени подписанные над кривыми (через одинаковые промежутки времени за исключением первого профиля).
Вложение:
KPP.PNG [ 21.58 Кб | Просмотров: 0 ]
Как и следует из теории, после непродолжительного переходного периода решение приобретает форму бегущей волны. (На рис. показан один из переходных профилей в момент времени 0.5). Далее за время 5 профили сдвигаются на величину 10. Следовательно (как и вытекает из теории КПП) скорость равна 2.
Ref
1. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединённой с возрастанием кол-ва вещества и его применение к одной биологической проблеме // Бюл. МГУ Математика и механика, 1937 — Т.1., вып. 6. — с 1–26. [Эта работа включена в книгу: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Математика и механика. — М.: Наука, 1985].