Уравнение теплопроводности с источником, тепловая волна

[DimaM]

Известно, что уравнение теплопроводности с источником специального вида

$$T_t=\chi T_{xx}+aT(1-T^2)$$

имеет решение в виде бегущей волны $T=T(x\pm Vt)$. Вид этого решения известен

$$T=\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\th\left(\frac{z}{h}\right),\quad z=x\pm Vt.$$

Если подставить решения, получаются выражения для $V$ и $h$.

Помнится, в книжке я видел способ найти $V$, не решая уравнения. Но, к сожалению, не могу вспомнить ни сам способ, ни название книжки. Может, кто-то знает и поделится?

[пианист]

Звучит как-то странно.
Поскольку диффур не зависит ни от $t$, ни от $x$, решение вида бегущей волны будет для любых значений скорости (включая ноль и бесконечность). Исходя из каких соображений предполагается эту скорость найти, и что такое $h$?

[DimaM]

пианист в сообщении #1634237 писал(а):

решение вида бегущей волны будет для любых значений скорости (включая ноль и бесконечность)

Нет.

пианист в сообщении #1634237 писал(а):

Исходя из каких соображений предполагается эту скорость найти

Можно тупо подставить решение и уравнять коэффициенты при степенях $T$.
В том, как найти из других соображений, и состоит мой вопрос.

пианист в сообщении #1634237 писал(а):

что такое $h$?

Характерная ширина фронта.

Для математиков можно масштабировать $t$ и $x$ и избавиться от коэффициентов $a$ и $\chi$. Тогда $V$ и $h$ будут просто числами.

[Утундрий]

Как вариант, плясать от анзаца бегущей волны и стандартного фурья. Найти невязку и что-то там заметить по поводу источника. Это я так, навскидку. Вычислением не проверял.

[Cos(x-pi/2)]

Из размерностей получается (с точностью до неизвестных безразмерных числовых множителей):

$V\sim \sqrt{a\chi}\,, \qquad h\sim \sqrt{\dfrac{\chi}{a}}\,.$

[DimaM]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1634273 писал(а):

Из размерностей получается (с точностью до неизвестных безразмерных числовых множителей)

Это да, но числовые множители так не получить.

[artur_k]

Колмогоров А.Н. "Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме" - не оно?
Там приводится формула

$$V=2\sqrt{\alpha \chi}$$

для скорости волны для уравнения

$$T_t=\chi T_{xx}+F[T]$$

где $\alpha=F'(0) > 0$

В вашем случае $V=2\sqrt{a \chi}$

[DimaM]

artur_k в сообщении #1634307 писал(а):

В вашем случае $V=2\sqrt{a \chi}$

Гм, прямой подстановкой я получаю коэффициент $5/(2\sqrt{2})$.

[artur_k]

DimaM в сообщении #1634362 писал(а):

Гм, прямой подстановкой я получаю коэффициент $5/(2\sqrt{2})$.

У меня получилось $h=2 \sqrt{2}\sqrt{\chi/a}$, $V=3/\sqrt{2}\sqrt{a \chi}$
Да, тоже не 2... Видно я что-то у Колмогорова недопонял.

[GAA]

Для демонстрации применимости работы [1] численно было выполнено в Maple 15 интегрирование уравнения

$$T_t = T_{xx} + T(1-T^2)$$

с начальным условием

$$ T(x, 0) = \begin {cases} 0, &\text{если $x<20$}; \\ 1, &\text{если $x\ge 20$.} \end {cases} $$

[Так как Maple находит решение краевой задачи, для численного интегрирования задавались условия $T(-50, t) = 0$, $T(50, t) = 1$. Значение 50 было подобрано из соображений, чтобы граничные условия практически не оказывали влияния на решение.]
На рис. построены профили решения в моменты времени подписанные над кривыми (через одинаковые промежутки времени за исключением первого профиля).

Вложение:

KPP.PNG [ 21.58 Кб | Просмотров: 0 ]

Как и следует из теории, после непродолжительного переходного периода решение приобретает форму бегущей волны. (На рис. показан один из переходных профилей в момент времени 0.5). Далее за время 5 профили сдвигаются на величину 10. Следовательно (как и вытекает из теории КПП) скорость равна 2.

Ref
1. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединённой с возрастанием кол-ва вещества и его применение к одной биологической проблеме // Бюл. МГУ Математика и механика, 1937 — Т.1., вып. 6. — с 1–26. [Эта работа включена в книгу: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Математика и механика. — М.: Наука, 1985].

[GAA]

В работе [1] доказано,что решение задачи для уравнения стремится к бегущей волне, форма которой удовлетворяет уравнению $V \frac {dv}{dz} = \chi \frac {d^2v}{dz^2} +F(v)$.
Причем значение $V$ задано: $V=2 \sqrt{\chi a}$.
А DimaM предлагает варьировать $V$ и $h$ для того, чтобы формально удовлетворить уравнению. Допустим удовлетворили. Но будет ли это решение устойчивым и какому начальному условию (какому классу начальных условий) оно соответствует?