(Оффтоп)
Слишком уж шуточная тема получилась, прошу модераторов перенести ее в соответствующий раздел (например, к ферматистам)
В целом оценка может быть получена из условия:
пусть
![$y>x$ $y>x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/4/4c401b9185cddd4f64489b353398320282.png)
, тогда
![$1+\left(\frac{x}{y}\right)^n=\left(\frac{z}{y}\right)^n\Rightarrow \left(\frac{z}{y}\right)^n<2$ $1+\left(\frac{x}{y}\right)^n=\left(\frac{z}{y}\right)^n\Rightarrow \left(\frac{z}{y}\right)^n<2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/a/5ca24046bdc334c5d15130da4e8830f982.png)
. Обозначим
![$y=z-t$ $y=z-t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/9/449ad70ad9f5e73045d9849e90084a2b82.png)
, тогда это будет при условии
![$$\frac{z^n}{(z-t)^n}<2\Rightarrow \frac{z}{z-t}<\sqrt[n]{2}\Rightarrow 1\leq t\leq \left\lfloor\left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{2}}\right)\cdot z \right\rfloor$$ $$\frac{z^n}{(z-t)^n}<2\Rightarrow \frac{z}{z-t}<\sqrt[n]{2}\Rightarrow 1\leq t\leq \left\lfloor\left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{2}}\right)\cdot z \right\rfloor$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/3/e638b2dbe17c54fe7f17de64b4a52b7682.png)
Здесь можно найти условие, когда
![$t<1$ $t<1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/d/5dda464c4f6809b0681ef1ff5d00549a82.png)
, т.е. уравнение не имеет решений:
![$$\left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{2}}\right)\cdot z<1\Rightarrow z<\frac{\sqrt[n]{2}}{\sqrt[n]{2}-1}$$ $$\left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{2}}\right)\cdot z<1\Rightarrow z<\frac{\sqrt[n]{2}}{\sqrt[n]{2}-1}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/3/7234e01038e00f3aee82d995ad0e7ddd82.png)
Функция
![$f(n)=\frac{\sqrt[n]{2}}{\sqrt[n]{2}-1}$ $f(n)=\frac{\sqrt[n]{2}}{\sqrt[n]{2}-1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/0/f60b1595f00c2cf18aa8a7e747b409c582.png)
практически прямолинейна, т.е. можно подобрать такой коэффициент
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
, что
![$$\frac{\sqrt[n]{2}}{\sqrt[n]{2}-1}\approx kn\Rightarrow k=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{2}}{(\sqrt[n]{2}-1)n}=\frac{1}{\ln{2}}$$ $$\frac{\sqrt[n]{2}}{\sqrt[n]{2}-1}\approx kn\Rightarrow k=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{2}}{(\sqrt[n]{2}-1)n}=\frac{1}{\ln{2}}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/e/feed77fcfde72b1f9e0efa967e75ebde82.png)
Также можно заметить, что
![$$\frac{x^n}{z^n}+\frac{y^n}{z^n}=\cfrac{1}{d+\alpha}+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{(d-1)+\alpha}}=1$$ $$\frac{x^n}{z^n}+\frac{y^n}{z^n}=\cfrac{1}{d+\alpha}+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{(d-1)+\alpha}}=1$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/b/a3b0db8690485d7e800dcaa9e8952cfb82.png)
где
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
- некоторая простая цепная дробь.
Таким образом, разложение в цепную дробь
![$\frac{y^n}{z^n}$ $\frac{y^n}{z^n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/6/bd6f6d920b24bbb1665c5ac9b97e0d3782.png)
должно иметь первую единицу, что также возможно только если
![$\frac{z^n}{y^n}<2$ $\frac{z^n}{y^n}<2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/a/fead311d3c1b00e0b2c8385a4841168882.png)
.
Возможны менее грубые оценки:
![$$\frac{z^n}{(z-t)^n}<1+\frac{1}{d-1}\Rightarrow 1\leq t \leq \left\lfloor\left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{1+\cfrac{1}{d-1}}}\right)\cdot z \right\rfloor$$ $$\frac{z^n}{(z-t)^n}<1+\frac{1}{d-1}\Rightarrow 1\leq t \leq \left\lfloor\left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{1+\cfrac{1}{d-1}}}\right)\cdot z \right\rfloor$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/4/bf41a44cad7788edd6a7d19870d8c3b882.png)
Определяет условия для
![$d\geq 2,3,4,\ldots$ $d\geq 2,3,4,\ldots$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/1/441b826135ee195d91b84d60e86ecb2382.png)
В этом случае сама теорема Ферма эквивалентна выполнению двух условий:
![$$\sqrt[n]{d+\alpha}=\frac{Q}{P}\in \mathbb{Q},\sqrt[n]{d-1+\alpha}=\frac{W}{P}\in \mathbb{Q}$$ $$\sqrt[n]{d+\alpha}=\frac{Q}{P}\in \mathbb{Q},\sqrt[n]{d-1+\alpha}=\frac{W}{P}\in \mathbb{Q}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/f/8efad6c13ca63e146dea6489e1884fd582.png)
Т.е.
![$$d+\alpha = \frac{dP^n+U}{P^n}\Rightarrow dP^n+U=Q^n$$ $$d+\alpha = \frac{dP^n+U}{P^n}\Rightarrow dP^n+U=Q^n$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/4/cb41b3a483303e645a1b4e1a60a2f32c82.png)
![$$d-1+\alpha=\frac{(d-1)P^n+U}{P^n}=\frac{W^n}{P^n}\Rightarrow (d-1)P^n+U=W^n$$ $$d-1+\alpha=\frac{(d-1)P^n+U}{P^n}=\frac{W^n}{P^n}\Rightarrow (d-1)P^n+U=W^n$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/3/b5329bc4c9d20bb53e44aa92301193e482.png)
![$$Q^n-P^n=W^n$$ $$Q^n-P^n=W^n$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/d/e4dd502d2adcc371836a1d5e9a61ef9582.png)