маленькие Ферматизмы

[juna]

Докажите, что

$$\forall x,y,z,n\in\mathbb{N}, z\leq\left\lfloor\frac{n}{\ln{2}}\right\rfloor:x^n+y^n\neq z^n$$

[juna]

Является ли ограничение

$$z\leq \left\lfloor \frac{n}{\ln{2}}\right\rfloor$$

неулучшаемым?

[juna]

(Оффтоп)

Слишком уж шуточная тема получилась, прошу модераторов перенести ее в соответствующий раздел (например, к ферматистам)

В целом оценка может быть получена из условия:
пусть $y>x$, тогда $1+\left(\frac{x}{y}\right)^n=\left(\frac{z}{y}\right)^n\Rightarrow \left(\frac{z}{y}\right)^n<2$. Обозначим $y=z-t$, тогда это будет при условии

$$\frac{z^n}{(z-t)^n}<2\Rightarrow \frac{z}{z-t}<\sqrt[n]{2}\Rightarrow 1\leq t\leq \left\lfloor\left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{2}}\right)\cdot z \right\rfloor$$

Здесь можно найти условие, когда $t<1$, т.е. уравнение не имеет решений:

$$\left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{2}}\right)\cdot z<1\Rightarrow z<\frac{\sqrt[n]{2}}{\sqrt[n]{2}-1}$$

Функция $f(n)=\frac{\sqrt[n]{2}}{\sqrt[n]{2}-1}$ практически прямолинейна, т.е. можно подобрать такой коэффициент $k$, что

$$\frac{\sqrt[n]{2}}{\sqrt[n]{2}-1}\approx kn\Rightarrow k=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{2}}{(\sqrt[n]{2}-1)n}=\frac{1}{\ln{2}}$$

Также можно заметить, что

$$\frac{x^n}{z^n}+\frac{y^n}{z^n}=\cfrac{1}{d+\alpha}+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{(d-1)+\alpha}}=1$$

где $\alpha$ - некоторая простая цепная дробь.

Таким образом, разложение в цепную дробь $\frac{y^n}{z^n}$ должно иметь первую единицу, что также возможно только если $\frac{z^n}{y^n}<2$.
Возможны менее грубые оценки:

$$\frac{z^n}{(z-t)^n}<1+\frac{1}{d-1}\Rightarrow 1\leq t \leq \left\lfloor\left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{1+\cfrac{1}{d-1}}}\right)\cdot z \right\rfloor$$

Определяет условия для $d\geq 2,3,4,\ldots$

В этом случае сама теорема Ферма эквивалентна выполнению двух условий:

$$\sqrt[n]{d+\alpha}=\frac{Q}{P}\in \mathbb{Q},\sqrt[n]{d-1+\alpha}=\frac{W}{P}\in \mathbb{Q}$$

Т.е.

$$d+\alpha = \frac{dP^n+U}{P^n}\Rightarrow dP^n+U=Q^n$$

$$d-1+\alpha=\frac{(d-1)P^n+U}{P^n}=\frac{W^n}{P^n}\Rightarrow (d-1)P^n+U=W^n$$

$$Q^n-P^n=W^n$$