Сверхсветовая передача информации с помощью запутанных троек

[Vadim32]

Dedekind в сообщении #1638130 писал(а):

Правильно. В той функции, что я привел, $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ и $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ - это и есть эти амплитуды.

Отлично. Я вижу, Вы всё пространство событий разделили на два элементарных исхода. Осталось ответить на вопрос - что это за события? Эксперимент с Алисой и Бобом которые измеряют спин запутанной пары под углами 0,120,240 градусов может иметь только два элементарных исхода, что это за исходы, вероятности которых Вы предсказали как 50 на 50?

[Dedekind]

Vadim32 в сообщении #1638151 писал(а):

что это за события?

Я же писал в самом начале. Стрелка вверх - положительное значение проекции спина на выбранное направление. Стрелка вниз - отрицательное. Первая стрелка в векторе - относится к одной частице из пары. Вторая - к другой частице.
Направление, в котором измеряется спин - может быть произвольным. Но одинаковым для обеих частиц.

[Cos(x-pi/2)]

Vadim32

Уважаемые коллеги выше верно сказали: для обсуждения такого рода тем надо знать квантовую механику (КМ). Конкретно: для разбора предлагаемых Вами сюжетов надо знать свойства спиновых состояний электрона и описывающую их математику - это довольно несложная алгебра матриц небольшого размера. (А орбитальную часть волновой функции можно не учитывать, не обсуждать и не знать.)

Для вашего примера с тремя частицами доказывается в общем виде (довольно простой выкладкой в формализме КМ), что в любом запутанном спиновом состоянии трёх частиц $a,b,c$ никакое изменение измерительного базиса для частицы $c$ не изменит вероятности, наблюдаемые для частиц $a$ и $b,$ просуммированные по исходам измерений $c.$

Это означает, что если наблюдатель "на передающей стороне", как Вы его называете, не будет сообщать наблюдателям "на приёмной стороне" результаты своих измерений $c,$ то наблюдатели на приёмной стороне не узнают, переключал ли "передающий" наблюдатель что-либо в своём приборе или не переключал. Т.е. передача информации на приёмную сторону только лишь за счёт переключения направления прибора на "передающей" стороне (типа того, как Вы предлагаете в вашей схеме) принципиально невозможна.

Если хотите, могу потратить сколько-то времени (урывками, не в режиме чата), чтобы попытаться пояснить Вам это подробнее, ну или хотя бы стимулировать ваш интерес к изучению собственно КМ вместо фантазирования о КМ. Для этого лучше бы попросить модераторов перенести тему в ПРР(Ф), т.к. дискуссионного тут ничего нет; квантовая механика тут самая элементарная, начального учебного уровня.

(Вот самые начальные пояснения, о спине одиночных электронов:)

Дираковский символ спинового состояния для одного электрона $|\uparrow \rangle$ это "стенографическое" (т.е. предельно краткое) описание следующей экспериментальной ситуации. Каждый электрон в данном статистическом ансамбле при измерении его проекции спина $s_z$ на заранее выбранную фиксированную ось $z$ обнаруживается со значением $s_z=+1/2$ (в долях от $\hbar)$ с вероятностью, равной $1.$

И аналогично, символ $|\downarrow \rangle$ означает состояние, в котором акт измерения $s_z$ у электрона даёт $s_z=-1/2$ с вероятностью, равной $1.$

Никаких других значений $s_z,$ кроме $\pm 1/2,$ в измерениях $s_z$ у электрона эксперимент не обнаружил. Измерения проекций спина производятся прибором Штерна--Герлаха; об этом читайте в учебниках, в том числе - в уже рекомендованном выше томе 8 ФЛФ. Прибор Штерна--Герлаха можно по-всякому поворачивать и тем самым переходить к измерениям проекции спина на другие направления.

Если на ансамбле электронов $|\uparrow \rangle$ измерять проекцию спина электрона на любое другое направление, отличное от $\pm z$ (обозначу другое направление, например, как $z_A,$ и проекцию спина на него обозначу как $s_A ),$ то обнаруживаются тоже только два значения этой проекции спина, $s_A=+1/2$ и $s_A=-1/2,$ притом с отличными от единицы вероятностями. Аналогично обстоит дело и в случае с $|\downarrow \rangle.$

Составим ансамбль электронов с проекцией спина $s_A=+1/2.$ У этих электронов измерение $s_A$ даёт $+1/2$ с вероятностью $1.$ Обозначим это состояние как $|\uparrow_A \rangle.$ Аналогичным образом, мы скажем про электроны, у которых с вероятностью единица $s_A=-1/2,$ что они находятся в состоянии $|\downarrow_A \rangle.$ Т.е. стрелкой вверх обозначаем состояние со спином вдоль указанной оси, а стрелкой вниз - состояние со спином в направлении, противоположном указанной оси. Стрелки без указания оси относятся "по умолчанию" к оси $z,$ а когда речь идёт о других направлениях измерения проекции спина, то их надо как-то указывать, чтобы избежать путаницы с направлением $z.$

Все направления, конечно же, равноправны, поэтому в этом рассказе качественно то же самое будет и если поменять ролями $z$ и $z_A.$ Например, в общем случае в состоянии $|\uparrow_A \rangle$ измерение $s_z$ даёт каждое из возможных значений $\pm 1/2$ с отличными от единицы вероятностями. Согласующийся с опытами математический формализм КМ описывает этот факт следующим равенством:

$$|\uparrow_A \rangle = A_1|\uparrow \rangle +A_2|\downarrow \rangle\,,$$

где число $A_1$ (в общем случае комплексное) называется амплитудой вероятности обнаружения $s_z=+1/2,$ число $A_2$ - амплитуда вероятности обнаружения $s_z=-1/2.$ Сами вероятности обнаружить $s_z=+1/2$ (обозначу эту вероятность как $P_{+})$ или $s_z=-1/2$ (обозначу эту вероятность как $P_{-})$ равны квадратам модулей амплитуд вероятностей:

$$P_{+}=|A_1|^2=A_1^*A_1\,, \qquad P_{-}=|A_2|^2=A_2^*A_2\,,$$

знак $*$ означает комплексное сопряжение. Если в ходе каких-либо вычислений амплитуды вероятности оказываются ненормированными, т.е. сумма обеих вероятностей получается не равной единице, то их нормируют - делят $A_1$ и $A_2$ на нормировочный множитель $\sqrt{|A_1|^2+|A_2|^2}.$

Кратко говоря, в формализме КМ применяется алгебра векторов с комплексными компонентами. Символы состояний называются векторами состояний. В указанном выше равенстве символ $|\uparrow_A \rangle$ служит примером произвольного вектора состояний $|\psi \rangle,$ символы $|\uparrow \rangle$ и $|\downarrow \rangle$ играют роль базисных векторов $|c\rangle,$ амплитуды вероятности $A_1$ и $A_2$ являются коэффициентами $A_c$ разложения $|\psi\rangle$ по данному базису $|c\rangle :$

$$|\psi\rangle =\sum_c A_c |c\rangle \,.$$

Вот важные утверждения КМ (неочевидные; чтобы осознать, чем они обусловлены, надо последовательно изучать КМ по учебникам):

Для любых двух векторов состояния

$$|\psi\rangle =\sum_c A_c |c\rangle \,,\qquad |\varphi\rangle =\sum_c B_c |c\rangle $$

определено их скалярное произведение - число, в общем случае комплексное, обозначаемое как $\langle \varphi |\psi \rangle,$ и вычисляемое по формуле:

$$\langle \varphi |\psi \rangle = \sum_c B_c^*A_c\,.$$

Заметим, что $|\uparrow \rangle$ и $|\downarrow \rangle$ можно записать в виде их разложения по этому же самому базису:

$$|\uparrow \rangle=1\,|\uparrow \rangle+0\,|\downarrow \rangle$$

$$|\downarrow \rangle =0\,|\uparrow \rangle+1\,|\downarrow \rangle$$

Видно, что в таком базисе для $|\uparrow \rangle$ компонентами являются числа $1$ и $0,$ а для $|\downarrow \rangle$ компонентами являются $0$ и $1.$ Отсюда сразу видно, что

$$\langle \downarrow |\uparrow \rangle = \langle \uparrow |\downarrow \rangle = 0\,.$$

Такие векторы, у которых скалярные произведения друг с другом равны нулю, называются взаимно ортогональными. Видно также, что

$$\langle \uparrow |\uparrow \rangle =1\,, \qquad \langle \downarrow |\downarrow \rangle =1\,.$$

Любой такой вектор, у которого скалярное произведение на самого себя равно единице, называется нормированным.

Вычисляя скалярные произведения базисных векторов с вектором сотояния $|\uparrow_A \rangle = A_1|\uparrow \rangle +A_2|\downarrow \rangle,$ видим также, что

$$\langle \uparrow | \uparrow_A \rangle =A_1\,,\qquad \langle \downarrow | \uparrow_A \rangle =A_2\,.$$

В этом и заключается одна из главных ролей скалярного произведения в КМ: оно позволяет находить амплитуды вероятности. Общая формула такова: искомые коэффициенты $A_c$ разложения $|\psi\rangle$ по ортонормированному базису $|c\rangle$ есть

$$A_c=\langle c|\psi \rangle$$

Соответствующие вероятности есть

$$P_c=|A_c|^2=|\langle c|\psi \rangle|^2\,.$$

Если известен угол $\alpha$ между осями $z$ и $z_A,$ то для вычисления упоминавшихся выше вероятностей $P_{+}=|A_1|^2$ и $P_{-}=|A_2|^2$ можно воспользоваться (выведенной в КМ, здесь этот вывод не пишу) матрицей оператора $\hat{R}(\alpha)$ поворота спинового состояния $|\uparrow\rangle$ вокруг оси $y.$

Действительно, можно представить себе, что спиновое состояние $|\uparrow\rangle$ создается прибором Штерна--Герлаха с магнитной осью $z,$ который выпускает в направлении $x$ электроны, отклонившиеся магнитным полем вдоль $z$ (это электроны с $s_z=+1/2),$ а электроны, отклонившиеся в противоположном направлении (это электроны с $s_z=-1/2),$ ловятся какой-нибудь ловушкой и выбывают из игры. Если повернём это устройство на угол $\alpha$ вокруг оси $y,$ так что его магнитная ось теперь будет направлена вдоль $z_A,$ то, очевидно, на выходе получим электроны в спиновом состоянии $|\uparrow_A\rangle.$ (Правда, лететь они будут в направлении новой x-оси - повёрнутой тоже на угол $\alpha,$ но орбитальным состоянием мы условились не интересоваться при обсуждении спиновых состояний.) Математически это описывается так - состояние $|\uparrow_A\rangle$ есть результат действия оператора $\hat{R}(\alpha)$ поворота вокруг оси $y$ на состояние $|\uparrow\rangle:$

$$|\uparrow_A\rangle=\hat{R}(\alpha)|\uparrow\rangle$$

Тогда:

$$A_1=\langle \uparrow |\uparrow_A\rangle = \langle \uparrow |\hat{R}(\alpha)|\uparrow\rangle = R_{11}$$

$$A_2=\langle \downarrow |\uparrow_A\rangle = \langle \downarrow |\hat{R}(\alpha)|\uparrow\rangle = R_{21}$$

где через $R_{c'c}$ обозначены матричные элементы указанного оператора поворота: $R_{c'c}=\langle c'|\hat{R}|c\rangle.$ В КМ для них выводятся формулы:

$$R_{11}=\cos(\alpha/2)\,,\qquad R_{21}=\sin(\alpha/2)\,.$$

В качестве упражнения на применение этого формализма проверьте, правильно ли вычислены коэффициенты в следующих примерах (и в каждом примере найдите упоминавшиеся вероятности $P_{+}$ и $P_{-}):$

Пример А: если ось $z_A$ повёрнута (в плоскости $x,z)$ на угол $120°$ от оси $z,$ то базисные состояния по отношению к оси $z_A$ есть

$$|\uparrow_A\rangle = \dfrac{1}{2}|\uparrow\rangle + \dfrac{\sqrt{3}}{2}|\downarrow\rangle$$

$$|\downarrow_A\rangle = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}|\uparrow\rangle + \dfrac{1}{2}|\downarrow\rangle$$

Пример B: если ось $z_B$ повёрнута (в плоскости $x,z)$ на угол $240°$ от оси $z,$ то базисные состояния по отношению к оси $z_B$ есть

$$|\uparrow_B\rangle = -\dfrac{1}{2}|\uparrow\rangle + \dfrac{\sqrt{3}}{2}|\downarrow\rangle$$

$$|\downarrow_B\rangle = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}|\uparrow\rangle - \dfrac{1}{2}|\downarrow\rangle$$

Пример С1: если ось $z_{C1}$ повёрнута (в плоскости $x,z)$ на угол $-90°$ от оси $z,$ то базисные состояния по отношению к оси $z_{C1}$ есть

$$|\uparrow_{C1}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle - \dfrac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle$$

$$|\downarrow_{C1}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle +\dfrac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle$$

Просигнальте, если это Вам "зашло", т.е. удалось всё понять; тогда напишем с коллегами продолжение (о запутанных состояниях нескольких частиц, в том числе в ваших примерах). Если что-то не вполне ясно, спрашивайте.

[Dedekind]

Vadim32

Dedekind в сообщении #1638130 писал(а):

или ждите человека, который тут Вам все разжует. Такое иногда действительно случается, хоть и не слишком часто.

Что ж, Вам повезло:)

[zhyks1961]

Vadim32 в сообщении #1638017 писал(а):

Почему жуткое дальнодействие доказано, но его не используют для мгновенной передачи информации до сих пор?

.
на мой взгляд это связано с парадоксом Эйнштейна-Подольского-Розена. Тот же принцип.

[Vadim32]

У меня тут возникла поправочка.
В случае С0=0 будут наблюдаться только следующие комбинации
Спин A=+1 Спин B=+1 Спин C=+1
Спин A=-1 Спин B=-1 Спин C=-1


В случае С1=90 будут наблюдаться только следующие комбинации
Спин A=+1 Спин B=-1 Спин C=+1
Спин A=+1 Спин B=-1 Спин C=-1
Спин A=-1 Спин B=+1 Спин C=+1
Спин A=-1 Спин B=+1 Спин C=-1


Если обозначить совпадение спинов A и B на приёмной стороне как 0,
несовпадение спинов A и B как 1, никакого смешивания нулей и единиц в ситуации С1 не будет.

В случае С0=0 поток выглядит как чистый 0
0000000000000000000000

В случае С1=90 поток выглядит как чистый 1
111111111111111111111

[Cos(x-pi/2)]

Vadim32

Вы по-прежнему не обосновываете свои утверждения квантовомеханическим расчётом, и поэтому Вы опять ошиблись. Если для "случая С0" ваши утверждения считать верными, то для "случая С1" - нет.

И вообще, как Вам уже говорили, поскольку возможны разные запутанные состояния частиц, то начинать надо с написания вектора состояния того конкретного состояния, которое Вы рассматриваете, затем именно для него и делать расчёт. А пока приходится лишь догадываться, какое именно у Вас подразумевается состояние частиц.

Вот обещанный подробный рассказ про трёхчастичные состояния, а также пояснение с расчётом по КМ (в обозначениях, растолкованных мной в предыдущем сообщении), что предсказывает КМ в вашем примере:

(Спиновые состояния трёх частиц, их измерения в разных базисах)

В самом общем виде вектор состояния $|\Psi\rangle$ трёх частиц представляется суперпозицией (линейной комбинацией) трёхчастичных базисных состояний:

$$|\Psi\rangle =\sum_a \sum_b \sum_c A_{abc}|a,b,c\rangle\,,$$

где индекс $a$ нумерует базисные состояния 1-й частицы, индекс $b$ нумерует базисные состояния 2-й частицы, индекс $c$ нумерует базисные состояния 3-й частицы. Трёхчастичные базисные состояния $|a,b,c\rangle$ составляют полный ортонормированный набор:

$$\langle a',b',c'|a,b,c\rangle=\langle a'|a\rangle \, \langle b'|b\rangle \,\langle c'|c\rangle \,= \,\delta_{a'a}\,\delta_{b'b}\,\delta_{c'c}\,,$$

буква дельта с индексами означает, как обычно, символ Кронекера: $\delta_{a'a}=0$ при $a' \neq a$ и $\delta_{a'a}=1$ при $a'=a.$

Запись типа $|a,b,c\rangle$ - сокращённая. Более подробно трёхчастичные базисные векторы состояний записываются в виде так называемого "тензорного произведения" одночастичных базисных состояний:

$$|a,b,c\rangle = |a\rangle \otimes |b\rangle \otimes |c\rangle$$

Знак $\otimes$ читается как союз "И", т.е. эта запись означает просто, что 1-я частица находится в соcтоянии $|a\rangle,$ и при этом 2-я частица находится в соcтоянии $|b\rangle,$ и при этом 3-я частица находится в соcтоянии $|c\rangle.$ Важно, что как знак алгебраического действия знак $\otimes$ соответствует "умножению"; т.е., например, если один из сомножителей представляется суммой слагаемых, то и всё произведение выражается суммой слагаемых:

$$|a\rangle \otimes |b\rangle \otimes (C_1|c_1\rangle+C_2|c_2\rangle) = C_1|a\rangle \otimes |b\rangle \otimes |c_1\rangle+C_2|a\rangle \otimes |b\rangle \otimes |c_2\rangle$$

Символ $|a,b,c\rangle$ с конкретными значениями индексов $a,b,c$ описывает статистический ансамбль из троек частиц, в котором с вероятностью, равной единице, у каждой из частиц при соответствующем измерении обнаруживается свойство, характерное для указанного её базисного состояния с данным индексом. Поскольку в выражении для $|\Psi\rangle $ базисные состояния $|a,b,c\rangle $ просуммированы с коэффициентами $A_{abc}$ (нумерованными теми же тремя индексами $a,b,c),$ то согласно квантовомеханическому принципу суперпозиции эти коэффициенты имеют смысл амплитуд вероятности: $A_{abc}$ есть амплитуда вероятности обнаружить у 1-й частицы значение "a", и при этом у 2-й частицы обнаружить значение "b", и при этом у 3-й частицы обнаружить значение "c" в результате измерений соответствующих свойств частиц. Вероятность каждого из результатов таких измерений есть

$$P_{abc}=|A_{abc}|^2\,.$$

То обстятельство, что речь здесь идёт об измерении свойств, характерных именно для заданного типа базисных состояний $|a,b,c\rangle$ у системы частиц, находящейся в заданном состоянии $|\Psi\rangle,$ выражается так - амплитуды вероятности $A_{abc}$ равны скалярным произведениям вектора состояния $|\Psi\rangle$ с векторами состояния именно данного "измерительного базиса":

$$A_{abc}=\langle a,b,c\,|\Psi\rangle$$

Если для того же состояния $|\Psi\rangle$ интересоваться результатами измерений другого вида, то надо этим другого вида измерениям сопоставить свой базис, скажем, $|A,B,C\rangle,$ и вычислять новые коэффициенты $A'_{ABC}$ разложения прежнего $|\Psi\rangle$ - по этому новому базису:

$$A'_{ABC}=\langle A,B,C\,|\Psi\rangle $$

Тогда верояность для результата "A и B и C" есть

$$P_{ABC}=|A'_{ABC}|^2\,.$$

Перехожу к подробному разбору примера, предложенного топикстартером. Речь идёт о спиновой части $|\Psi\rangle$ некоторого трёхчастичного состояния и об измерениях проекций спина на различные направления у каждой из трёх частиц, имеющих величину спина $s=1/2.$

"Случай С0":

Из рисунков ТС следует, что измерительным базисом для 3-й частицы можно считать состояния со спином вдоль и против оси $z,$ т.е. это $|\uparrow_{C0}\rangle=|\uparrow\rangle$ и $|\downarrow_{C0}\rangle=|\downarrow\rangle\,.$

Для 2-й частицы измерительным базисом служат состояния со спином вдоль и против оси, повёрнутой (в плоскости $x,z)$ от оси $z$ на $240°.$ Выше в своём сообщении я их обозначил как $|\uparrow_B\rangle$ и $|\downarrow_B\rangle$ (и привёл для них выражения через $|\uparrow\rangle$ и $|\downarrow\rangle,$ но эти выражения нам пока не понадобятся).

Для 1-й частицы измерительным базисом аналогично служат состояния $|\uparrow_A\rangle$ и $|\downarrow_A\rangle$ - со спином вдоль и против оси, повёрнутой (в плоскости $x,z)$ от оси $z$ на $120°.$

Соответственно, трёхчастичный измерительный базис состоит из следующих $2^3=8$ векторов состояния (взаимно ортогональных и нормированных):

$$|\uparrow_A\uparrow_B\uparrow_{C0}\rangle,\quad |\downarrow_A\uparrow_B\uparrow_{C0}\rangle,\quad |\uparrow_A\downarrow_B\uparrow_{C0}\rangle,\quad |\downarrow_A\downarrow_B\uparrow_{C0}\rangle\,,$$

$$|\uparrow_A\uparrow_B\downarrow_{C0}\rangle,\quad |\downarrow_A\uparrow_B\downarrow_{C0}\rangle,\quad |\uparrow_A\downarrow_B\downarrow_{C0}\rangle,\quad |\downarrow_A\downarrow_B\downarrow_{C0}\rangle\,.$$

Чтобы вычислить амплитуды вероятности и затем сами вероятности надо задать состояние $|\Psi\rangle,$ с которым будем скалярно перемножать указанные выше базисные состояния. ТС не задал $|\Psi\rangle$ явно, но по вот этим его словам

Vadim32 в сообщении #1638452 писал(а):

В случае С0=0 будут наблюдаться только следующие комбинации
Спин A=+1 Спин B=+1 Спин C=+1
Спин A=-1 Спин B=-1 Спин C=-1

можно догадаться (как это и сделал ещё раньше уважаемый manul91), что подразумевается состояние типа

$$|\Psi \rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,|\uparrow_{A}\uparrow_{B}\uparrow_{C0}\rangle - \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,|\downarrow_{A}\downarrow_{B}\downarrow_{C0}\rangle $$

В этом случае отличны от нуля только следующие две амплитуды вероятности:

$$A_{+++}=\langle \uparrow_{A}\uparrow_{B}\uparrow_{C0}|\Psi\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,,\qquad A_{---}=\langle \downarrow_{A}\downarrow_{B}\downarrow_{C0}|\Psi \rangle = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$

Поэтому отличными от нуля вероятностями являются только

$$P_{+++}=\dfrac{1}{2}\,,\qquad P_{---}=\dfrac{1}{2}\,.$$

Если запись результатов измерений для 3-й частицы не сообщается наблюдателям 1-й и 2-й частицы, то подсчитываемые этими наблюдателями вероятности представляют собой сумму вероятностей по исходам измерений 3-й частицы; в общем случае это утвержление имеет вид равенcтва:

$$P_{ab}=\sum_c P_{abc}$$

В данном же примере каждой из двух ненулевых вероятностей соответствует только один исход измерений для 3-й частицы, т.е. суммировать нечего - вероятности $P_{++}$ и $P_{--}$ содержат по одному слагаемому:

$$P_{++}=P_{+++}=\dfrac{1}{2}\,,\qquad P_{--}=P_{---}=\dfrac{1}{2}\,.$$

"Случай С1":

Исходное трёхчастичное состояние здесь прежнее:

$$|\Psi \rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,|\uparrow_{A}\uparrow_{B}\uparrow_{C0}\rangle - \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,|\downarrow_{A}\downarrow_{B}\downarrow_{C0}\rangle $$

И базисные состояния для измерения проекций спина 1-й и 2-й частицы прежние. Но у 3-й частицы теперь измеряется проекция спина на другое направление - на ось, повёрнутую в плоскости $x,z$ от оси $z$ на угол $-90°.$ Как я уже пояснял раньше, и как ещё раньше это же подчёркивал уважаемый manul91, векторы состояния измерительного базиса для 3-й частицы теперь представляются линейными комбинациями состояний $|\uparrow_{C0}\rangle=|\uparrow\rangle$ и $|\downarrow_{C0}\rangle=|\downarrow\rangle\,,$ а именно:

$$|\uparrow_{C1}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,|\uparrow_{C0}\rangle - \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,|\downarrow_{C0}\rangle$$

$$|\downarrow_{C1}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,|\uparrow_{C0}\rangle +\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,|\downarrow_{C0}\rangle$$

Поэтому ненулевой вклад в скалярные произведения с $|\Psi\rangle $ теперь дадут слагаемые (те из них, которые не ортогональны к $|\Psi\rangle)$ содержащиеся в следующих трёхчастичных базисных векторах состояний:

$$|\uparrow_A\uparrow_B\uparrow_{C1}\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,|\uparrow_A\uparrow_B\uparrow_{C0}\rangle - \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,|\uparrow_A\uparrow_B\downarrow_{C0}\rangle$$

$$|\uparrow_A\uparrow_B\downarrow_{C1}\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,|\uparrow_A\uparrow_B\uparrow_{C0}\rangle + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,|\uparrow_A\uparrow_B\downarrow_{C0}\rangle$$

$$|\downarrow_A\downarrow_B\uparrow_{C1}\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,|\downarrow_A\downarrow_B\uparrow_{C0}\rangle - \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,|\downarrow_A\downarrow_B\downarrow_{C0}\rangle$$

$$|\downarrow_A\downarrow_B\downarrow_{C1}\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,|\downarrow_A\downarrow_B\uparrow_{C0}\rangle + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,|\downarrow_A\downarrow_B\downarrow_{C0}\rangle$$

Ненулевые амплитуды вероятности есть

$$A_{+++}=\langle \uparrow_A\uparrow_B\uparrow_{C1}|\Psi\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}$$

$$A_{++-}=\langle \uparrow_A\uparrow_B\downarrow_{C1}|\Psi \rangle= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}$$

$$A_{--+}=\langle \downarrow_A\downarrow_B\uparrow_{C1}|\Psi \rangle= -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{(-1)}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}$$

$$A_{---}=\langle \downarrow_A\downarrow_B\downarrow_{C1}|\Psi \rangle= -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{2}$$

Возводим их в квадрат, получаем вероятности:

$$P_{+++}=|A_{+++}|^2=\dfrac{1}{4}$$

$$P_{++-}=|A_{++-}|^2=\dfrac{1}{4}$$

$$P_{--+}=|A_{--+}|^2=\dfrac{1}{4}$$

$$P_{---}=|A_{---}|^2=\dfrac{1}{4}$$

Если запись результатов измерений для 3-й частицы не сообщается наблюдателям 1-й и 2-й частицы, то подсчитываемые этими наблюдателями вероятности представляют собой сумму вероятностей по исходам измерений 3-й частицы; отличными от нуля будут:

$$P_{++}=P_{+++}+P_{++-}=\dfrac{1}{2}$$

$$P_{--}=P_{--+}+P_{---}=\dfrac{1}{2}$$

Таким образом, в "Случае С1" вероятности для результатов измерений 1-й и 2-й частицы, просуммированные по исходам измерений 3-й частицы, получились точно такие же, как и в "Случае С0".

Утверждение же ТС

Vadim32 в сообщении #1638452 писал(а):

Если обозначить ... несовпадение спинов A и B как 1, ... В случае С1=90 поток выглядит как чистый 1
111111111111111111111

не обосновано и является грубой ошибкой, которая ведёт к неверному выводу о якобы осуществимости сверхсветовой передачи сообщений.

Нет смысла перебирать разные частные примеры (ну разве лишь для упражнений это имеет смысл), так как, повторяю, можно привести в общем виде квантовомеханическое доказательство того, что в любом состоянии трёх частиц $a,b,c$ никакое изменение измерительного базиса для частицы $c$ не изменит вероятности, наблюдаемые для частиц $a$ и $b,$ просуммированные по исходам измерений $c.$

Чтобы в таком доказательстве разобраться, достаточно плюс к тому, что уже здесь пояснено, освоить в общем виде формулы перехода от одного ортонормированного базиса к другому (унитарные преобразования).

[Vadim32]

Я достаточно ясно описал в посте про доверенный источник, какие запутанные тройки используются в эксперименте. Я конкретно описал - что именно нужно наблюдать в экспериментах, чтобы считать тройки пригодными для использования в сверхсветовой передаче. Если вам нужно другое описание на каком-то другом языке, например на вьетнамском, возьмите и переведите на въетнамский, но не требуйте этого от меня. Я вам ничего не должен.

Ваше предположение о том, что на приёмной стороне будут наблюдаться только пары ++ и -- независимо от того, под каким углом измеряется частица c на передающей стороне абсурдно. Вероятно, оно сделано от непонимания жуткого дальнодействия. Дальнодействие это не иллюзия, как многие думают.

В физике существует закон сохранения момента импульса. Законы сохранения работают также и в квантовой физике, но со своими особенностями. Понимаете, спин отличается от момента импульса также, как монета отличается от количества денег. Монета это квант денег, спин это квант момента импульса. Если сумма платежа в точности соответствует какому-то количеству монет, то платёж монетами будет точный, без округлений. Но если платёж нельзя составить каким-то целым набором монет, то платёж будет не точным, с округлением до целого. Квантовая природа так устроена, что в случае квантования дискретными величинами законы сохранения соблюдаются среднестатистически. А в некоторых случаях, когда существует набор квантов в сумме точно дающую требуемую величину, закон сохранения будет соблюдаться точно каждом отдельном акте измерения, также как и в классической физике. Именно поэтому, в случае углов A=0 B=120 C=240 нулевой суммарный момент импульса достигается точно в комбинациях
Спин A=+1 Спин B=+1 Спин C=+1
Спин A=-1 Спин B=-1 Спин C=-1
И в этих ситуациях при наличии комбинаций с точным соблюдением законов сохранения других комбинаций не требуется, и их не будет.
Здесь это проиллюстрировано картинкой из маткада.


Красными точками на первом графике обозначены вектора A B и C, правда получилось повернуто на 90 градусов относительно моих первых картинок в начале.
А вот положения суммарного момента импульса в разных состояниях.

Синими точками обозначены 8 возможных суммарных моментов импульса трёх частиц в зависимости от их спинов.
Две из них в точности совпадают с нулём, поэтому в центре слились две точки
Спин A=+1 Спин B=+1 Спин C0=+1
Спин A=-1 Спин B=-1 Спин C0=-1


А на следующей картинке возможный суммарный момент импульса в случае С1=-90 градусов.


А её немного подрисовал и подписал состояния. Как видим, 8 состояний разделены на три группы, по уровню отклонения суммарного момента импульса от нуля. Первая группа из двух состояний обведена розовым цветом
Спин A=+1 Спин B=-1 Спин C1=+1
Спин A=-1 Спин B=+1 Спин C1=-1
она даёт минимальное отклонение от нуля.

Вторая группа из 4 состояний обведена зелёным цветом.
И третья группа обведена коричневым цветом, она даёт наибольшее отклонение от нуля.

Квантование момента импульса происходит таким образом, что во-первых соблюдается закон сохранения момента импульса, это значит нет постоянного смещения, и в среднем отклонение стремится к нулю при увеличении статистики. А во-вторых из всех возможных вероятностей распределения состояний выбирается такое распределение, что среднеквадратичное отклонение будет минимальным для данного распределения вероятностей состояний. То есть не только матожидание равно нулю, но и дисперсия для данного распределения минимальна. Поэтому, использование только двух состояний из розовой группы позволяет достигнуть эту цель.
Спин A=+1 Спин B=-1 Спин C1=+1
Спин A=-1 Спин B=+1 Спин C1=-1

Нет смысла подключать состояния второй зеленой орбитали или тем более третьей коричневой, если от этого среднеквадратичное отклонение от нуля только увеличится. Вот моё обоснование и моё предсказание.
В ситуации С1 никаких других состояний не будет, кроме
Спин A=+1 Спин B=-1 Спин C1=+1
Спин A=-1 Спин B=+1 Спин C1=-1

[Dedekind]

(Оффтоп)

Vadim32 в сообщении #1638520 писал(а):

Ваше предположение о том, что на приёмной стороне будут наблюдаться только пары ++ и -- независимо от того, под каким углом измеряется частица c на передающей стороне абсурдно. Вероятно, оно сделано от непонимания жуткого дальнодействия.

ахахахаха:)))
Простите, не удержался:))

-- 09.05.2024, 10:04 --

Cos(x-pi/2)
Хочу сказать Вам большое спасибо за такой подробный разбор. Он помог мне несколько лучше структурировать понимание и даже отловить пару ошибок. Это чтобы Вы не думали, что писали все это зря, когда тема уедет в Пургаторий:)

[pppppppo_98]

Vadim32 в сообщении #1638520 писал(а):

Понимаете, спин отличается от момента импульса также, как монета отличается от количества денег. Монета это квант денег, спин это квант момента импульса.

сколько же пафоса в ваших пространных речах...Ну расскажите же нам скорее о представлениях группы вращений SO(3)? что бы окончательно на с пригвоздить к позорной трибуне незнания... расскажите нам о структуре термов сверхтонкого (да и тонкого отчасти тоже, хотя там еще есть вырождение) расщепления водорода - где там спин и орбитальный момент

[Ende]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Пургаторий (Ф)»
Причина переноса: топикстартер не знает квантовой механики, но пытается учить ей тех, кто ее знает.

Vadim32
По итогам темы предупреждение за агрессивное невежество.

[Cos(x-pi/2)]

Dedekind, Вам тоже большое спасибо - за содержательное участие и оценку.

В Пургатории продолжать разбор неприятно и не принято, но я решил-таки добавить упоминашееся доказательство о смене базиса одной из частиц. Для завершения картины. (Не для ТС; он даже если и прочтёт это, то опять ничего не поймёт: ведь по его словам видно, что он ещё не приступал к изучению КМ. Видимо, ТС лишь впечатлился научпопом - там эйнштейновскую фразу о "жутком дальнодействии" любят повторять в отрыве от последовательного изложения КМ :)

Ниже идут два небольших сюжета: 1) описание смены базиса в общем виде, 2) вычисление вероятностей через амплитуды в новом базисе.

1) Пусть индекс $c$ нумерует векторы $|c\rangle,$ образующие ортонормированный базис, индекс $d$ нумерует векторы $|d\rangle$ из другого ортонормированного базиса в том же пространстве состояний (конечномерном, тогда нет заботы о сходимости рядов. В примере с одночастичным спиновым состоянием частицы со спином $1/2$ размерность пространства состояний равна 2: каждый индекс пробегает 2 значения, нумерующие два значения проекции спина на какое-либо направление). Разные базисы обозначаем разными буквами во избежание путаницы; векторы из одного и того же базисного набора будем отличать друг от друга с помощью штрихов, если потребуется.

Каждый вектор $|c\rangle$ можно разложить по векторам $|d\rangle.$ Коэффициенты разложения равны скалярным произведениям $\langle d|c\rangle.$ Их можно обозначить, например, как $U_{dc}.$ А можно разложение прямо так и записать с коэффициентами $\langle d|c\rangle:$

$$|c\rangle=\sum_d |d\rangle \,\langle d|c\rangle $$

Подставим сюда $|d\rangle$ в виде разложения по векторам $|c\rangle,$ то есть:

$$|d\rangle = \sum_{c'} |c'\rangle \, \langle c'|d\rangle$$

Поменяв порядок суммирования, получим равенство

$$|c\rangle=\sum_{c'}|c'\rangle \sum_d \langle c'|d\rangle \,\langle d|c\rangle$$

Очевидно, в его правой стороне должно быть отличным от нуля только одно слагаемое, - то, которое равно левой стороне: $|c\rangle.$ Видно, что для этого коэффициенты должны обладать свойством:

$$\sum_d \langle c'|d\rangle \,\langle d|c\rangle = \delta_{c'c}$$

Из определения скалярного произведения следует (см., в частности, в этом сообщении), что перестановка сомножителей эквивалентна комплексному сопряжению:

$$\langle \psi|\varphi \rangle = (\langle \varphi|\psi \rangle)^*$$

Поэтому указанное выше свойство коэффициентов перехода от одного базиса к другому можно записать так (в таком виде оно нам и пригодится):

$$\sum_d (\langle d|c'\rangle)^* \,\langle d|c\rangle = \delta_{c'c}$$

2) Пусть $|\Psi\rangle$ - заданное трёхчастичное состояние. Мы знаем, что если $|a,b,c\rangle$ - базисные векторы, соответствующие измерениям заданного вида, то амплитуды вероятности $A_{abc}$ обнаружения в измерениях данного вида результатов "a и b и c" являются коэффициентами разложения $|\Psi\rangle$ по базисным векторам $|a,b,c\rangle:$

$$|\Psi\rangle=\sum_a\sum_b\sum_c A_{abc} \,|a,b,c\rangle$$

Вероятности $P_{abc}$ результатов "a и b и c":

$$ P_{abc}=|A_{abc}|^2$$

Вероятности $P_{ab}$ результатов "a и b вне зависимости от результата с":

$$P_{ab}=\sum_c P_{abc}=\sum_c |A_{abc}|^2$$

Допустим, теперь в том же состоянии $|\Psi\rangle$ у 1-й и 2-частицы в каждой тройке частиц измеряются прежние свойства, а у 3-й частицы измеряется новое свойство - не то, которое измерялось раньше. Измерениям нового вида соответствуют новые базисные состояния 3-й частицы: $|d\rangle$ вместо прежних $|c\rangle.$ Новые амплитуды вероятности $A'_{abd}$ это коэффициенты разложения прежнего $|\Psi\rangle$ по новым базисным векторам $|a,b,d\rangle.$ Подставим в формулу прежнего разложения $|\Psi\rangle$ выражение для прежних трёхчастичных базисных векторов через новые, то есть:

$$|a,b,c\rangle=|a,b\rangle\otimes |c\rangle= |a,b\rangle\otimes \sum_d |d\rangle \,\langle d|c\rangle = \sum_d \langle d|c\rangle\, |a,b,d\rangle $$

Получаем:

$$|\Psi \rangle =\sum_a\sum_b\sum_d\sum_c A_{abc}\,\langle d|c\rangle\, |a,b,d\rangle$$

Видно, что новые амплитуды $A'_{abd}$ в разложении

$$|\Psi\rangle=\sum_a\sum_b\sum_d A'_{abd}\,|a,b,d\rangle $$

это

$$A'_{abd}=\sum_c A_{abc}\,\langle d|c\rangle$$

По ним вычисляем вероятности:

$$P_{abd} = \left |\sum_c A_{abc}\,\langle d|c\rangle \right |^2=$$

$$=\left( \sum_{c'}A_{abc'}\,\langle d|c'\rangle\right )^*\left(\sum_c A_{abc}\,\langle d|c\rangle\right)=$$

$$ = \sum_{c'} \sum_c A_{abc'}^*A_{abc}(\langle d|c'\rangle)^*\langle d|c\rangle$$

Вероятности результатов "a и b вне зависимости от результата d" получаются суммированием этого выражения по $d:$

$$P_{ab}=\sum_d P_{abd}=\sum_{c'} \sum_c A_{abc'}^*A_{abc}\sum_d(\langle d|c'\rangle)^*\,\langle d|c\rangle$$

С учётом свойства коэффициентов преобразования базисов, о котором речь шла выше, имеем:

$$P_{ab}=\sum_{c' }\sum_c A_{abc'}^*A_{abc}\,\delta_{c'c}=\sum_c |A_{abc}|^2$$

Видно, что вышло то же, что и было раньше. (Что и требовалось доказать.) Таким образом, изменение вида измерений для одной из частиц не изменяет вероятности результатов измерений для остальных частиц, просуммированные по исходам измерений указанной одной частицы.


Добавление к пункту 1:

С обозначением $\langle d|c\rangle = U_{dc}$ применённое выше важное свойство коэффициентов преобразования базисов можно записать в виде

$$\sum_d U_{dc'}^*U_{dc}=\delta_{c'c}$$

или

$$\sum_d (U^+)_{c'd}U_{dc}= \delta_{c'c}\,,$$

где $(U^+)_{c'd}=U_{dc}^*.$ Матрица $\hat{U}^+,$ получающаяся транспонированием и комплексным сопряжением матрицы $\hat{U},$ называется эрмитово сопряжённой. Видно, что рассматриваемое свойство коэффициентов перехода от одного ортонормированного базиса к другому представляется матричным равенством

$$\hat{U}^+\hat{U}=\hat{1}$$

или, как видно из этого равенства,

$$\hat{U}^{-1}=\hat{U}^+$$

Матрицы с таким свойством называют унитарными; переход от одного ортонормированного базиса к другому назыают унитарным преобразованием.