Нахождение математического ожидания

[Dimitrii_SP]

Хорошо, чтобы изменилось помимо подынтегрального выражения, если бы условием задачи было бы нахождение не расстояния, а его квадрата?

[мат-ламер]

Dimitrii_SP в сообщении #1637918 писал(а):

мат-ламер, ни что не мешает мне сначала избавиться от радикала в формуле расстояния между двумя точками, произвести интегральное исчисление, а уже затем в конце возвести в квадратный корень, получив искомое значение.

Попробуйте проверить вашу мысль на простейших примерах, где всё можно посчитать.

А вообще, давайте отделим мух от котлет. Если вы хотите разобраться с теорией:

Dimitrii_SP в сообщении #1637885 писал(а):

Проблема в том, что мне плохо дается применение мат ожидания по определению. .... Хотелось бы разобраться теперь в этом ключе.

то решайте задачу для квадрата расстояния. И вместо треугольника для простоты возьмите квадрат.

А вот, если у вас есть задание получить каким-то способом результат в исходной задаче, то (предполагая, что с теорией вы разобрались) рискну предположить. что это задача не по курсу теории вероятностей, а связана, например, с практикумом по вычислительной математике. И ищите ответ соответствующими методами.

А вот, если задачу вы придумали себе сами, то, как говорится, взялся за гуж ... Дерзайте!

[svv]

Dimitrii_SP в сообщении #1637878 писал(а):

Ответ получился около 0,366.

Посчитал точно. Получилось
$\dfrac {4+3\ln 3}{20}=0.36479...$
Удалось свести к двойному интегралу, да и тот оказался нестрашным.

[Евгений Машеров]

Dimitrii_SP в сообщении #1637910 писал(а):

теперь ищу мат ожидание квадрата искомого расстояния

Это другая задача. Нелинейные преобразования не позволяют полагать, что $E(f(x))=f(E(x))$
Вот, скажем, матожидание x, случайно распределённого на (-1;1) и его квадрата.

[Gyros]

svv в сообщении #1637928 писал(а):

Посчитал точно. Получилось
$\dfrac {4+3\ln 3}{20}=0.36479...$
Удалось свести к двойному интегралу, да и тот оказался нестрашным.

Осмелюсь спросить, а как вы свели к двойному?
А можно интеграл так написать, чтобы без модулей было?:

$$\int\limits_{-0.5}^{0.5}\int\limits_{\sqrt{3}(x_1+0.5)}^{-\sqrt{3}(x_1-0.5)}\int\limits_{-0.5}^{0.5}\int\limits_{\sqrt{3}(x_2+0.5)}^{-\sqrt{3}(x_2-0.5)}\frac{\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}{S}\cdot dx_1\cdot dy_1\cdot dx_2\cdot dy_2$$

где $S=\frac{\sqrt{3}}{4}$

mihaild в сообщении #1637902 писал(а):

Еще на квадрат площади треугольника поделить надо.

А почему на квадрат площади, а не на просто площадь?

[mihaild]

Gyros в сообщении #1638159 писал(а):

А почему на квадрат площади, а не на просто площадь?

Потому что мы интегрируем по квадрату треугольника :)
У нас есть два случайных вектора $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, мы интегрируем функцию от них по мере, что эквивалентно интегрированию произведения функции, умноженной на произведение этих плотностей. А у каждого из этих векторов плотность $\frac{1}{S}$ внутри треугольника и $0$ вне треугольника. При перемножении плотностей получается $\frac{1}{S^2}$ когда оба вектора внутри треугольника, и $0$ иначе (но туда мы не лезем за счет пределов интегрирования).

[Gyros]

mihaild в сообщении #1638160 писал(а):

У нас есть два случайных вектора $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, мы интегрируем функцию от них по мере, что эквивалентно интегрированию произведения функции, умноженной на произведение этих плотностей.

Да, спасибо, теперь понятно. То есть можно было записать $S$ под дифференциалами (для красоты):
$I=\cdots\frac{dx_1\cdot dy_1}{S}\cdot\frac{dx_2\cdot dy_2}{S}$

А где можно почитать об этом? Я начал рыться в литературе. Пока место, где прямо о такой ситуации пишут еще не нашел.

[mihaild]

Смотря что такое "прямо такая". У Севастьянова в "Курсе теории вероятностей" есть пара слов о равномерном распределении на объеме (стр. 95, издание 1982 года), совместной плотности (стр. 97) и мат. ожидании функции от нескольких случайных величин через совместную плотность (стр. 113).

[Gyros]

Спасибо mihaild за ссылку.
А если попробовать перейти к полярным координатам:
$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1 r_2(\cos\varphi_1 \cos\varphi_2+ \sin\varphi_1 \sin\varphi_2)}$
что-то не очень то упрощает будущее интегрирование.

[мат-ламер]

Gyros в сообщении #1638224 писал(а):

А если попробовать перейти к полярным координатам:

Вот если бы вы искали среднее расстояние между двумя случайными точками в круге, то это был бы, наверное, полезный ход.