2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Нахождение математического ожидания
Сообщение03.05.2024, 22:01 
Аватара пользователя


03/05/24
7
Хорошо, чтобы изменилось помимо подынтегрального выражения, если бы условием задачи было бы нахождение не расстояния, а его квадрата?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение математического ожидания
Сообщение03.05.2024, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Dimitrii_SP в сообщении #1637918 писал(а):
мат-ламер, ни что не мешает мне сначала избавиться от радикала в формуле расстояния между двумя точками, произвести интегральное исчисление, а уже затем в конце возвести в квадратный корень, получив искомое значение.

Попробуйте проверить вашу мысль на простейших примерах, где всё можно посчитать.

А вообще, давайте отделим мух от котлет. Если вы хотите разобраться с теорией:
Dimitrii_SP в сообщении #1637885 писал(а):
Проблема в том, что мне плохо дается применение мат ожидания по определению. .... Хотелось бы разобраться теперь в этом ключе.

то решайте задачу для квадрата расстояния. И вместо треугольника для простоты возьмите квадрат.

А вот, если у вас есть задание получить каким-то способом результат в исходной задаче, то (предполагая, что с теорией вы разобрались) рискну предположить. что это задача не по курсу теории вероятностей, а связана, например, с практикумом по вычислительной математике. И ищите ответ соответствующими методами.

А вот, если задачу вы придумали себе сами, то, как говорится, взялся за гуж ... Дерзайте!

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение математического ожидания
Сообщение04.05.2024, 04:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Dimitrii_SP в сообщении #1637878 писал(а):
Ответ получился около 0,366.
Посчитал точно. Получилось
$\dfrac {4+3\ln 3}{20}=0.36479...$
Удалось свести к двойному интегралу, да и тот оказался нестрашным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение математического ожидания
Сообщение04.05.2024, 10:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Dimitrii_SP в сообщении #1637910 писал(а):
теперь ищу мат ожидание квадрата искомого расстояния


Это другая задача. Нелинейные преобразования не позволяют полагать, что $E(f(x))=f(E(x))$
Вот, скажем, матожидание x, случайно распределённого на (-1;1) и его квадрата.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение математического ожидания
Сообщение06.05.2024, 12:08 
Аватара пользователя


04/03/21
34
svv в сообщении #1637928 писал(а):
Посчитал точно. Получилось
$\dfrac {4+3\ln 3}{20}=0.36479...$
Удалось свести к двойному интегралу, да и тот оказался нестрашным.

Осмелюсь спросить, а как вы свели к двойному?
А можно интеграл так написать, чтобы без модулей было?:
$$\int\limits_{-0.5}^{0.5}\int\limits_{\sqrt{3}(x_1+0.5)}^{-\sqrt{3}(x_1-0.5)}\int\limits_{-0.5}^{0.5}\int\limits_{\sqrt{3}(x_2+0.5)}^{-\sqrt{3}(x_2-0.5)}\frac{\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}{S}\cdot dx_1\cdot dy_1\cdot dx_2\cdot dy_2$$
где $S=\frac{\sqrt{3}}{4}$

mihaild в сообщении #1637902 писал(а):
Еще на квадрат площади треугольника поделить надо.

А почему на квадрат площади, а не на просто площадь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение математического ожидания
Сообщение06.05.2024, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Gyros в сообщении #1638159 писал(а):
А почему на квадрат площади, а не на просто площадь?
Потому что мы интегрируем по квадрату треугольника :)
У нас есть два случайных вектора $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, мы интегрируем функцию от них по мере, что эквивалентно интегрированию произведения функции, умноженной на произведение этих плотностей. А у каждого из этих векторов плотность $\frac{1}{S}$ внутри треугольника и $0$ вне треугольника. При перемножении плотностей получается $\frac{1}{S^2}$ когда оба вектора внутри треугольника, и $0$ иначе (но туда мы не лезем за счет пределов интегрирования).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение математического ожидания
Сообщение06.05.2024, 14:06 
Аватара пользователя


04/03/21
34
mihaild в сообщении #1638160 писал(а):
У нас есть два случайных вектора $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, мы интегрируем функцию от них по мере, что эквивалентно интегрированию произведения функции, умноженной на произведение этих плотностей.


Да, спасибо, теперь понятно. То есть можно было записать $S$ под дифференциалами (для красоты):
$I=\cdots\frac{dx_1\cdot dy_1}{S}\cdot\frac{dx_2\cdot dy_2}{S}$

А где можно почитать об этом? Я начал рыться в литературе. Пока место, где прямо о такой ситуации пишут еще не нашел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение математического ожидания
Сообщение06.05.2024, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Смотря что такое "прямо такая". У Севастьянова в "Курсе теории вероятностей" есть пара слов о равномерном распределении на объеме (стр. 95, издание 1982 года), совместной плотности (стр. 97) и мат. ожидании функции от нескольких случайных величин через совместную плотность (стр. 113).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение математического ожидания
Сообщение06.05.2024, 17:03 
Аватара пользователя


04/03/21
34
Спасибо mihaild за ссылку.
А если попробовать перейти к полярным координатам:
$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1  r_2(\cos\varphi_1 \cos\varphi_2+ \sin\varphi_1 \sin\varphi_2)}$
что-то не очень то упрощает будущее интегрирование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение математического ожидания
Сообщение06.05.2024, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Gyros в сообщении #1638224 писал(а):
А если попробовать перейти к полярным координатам:

Вот если бы вы искали среднее расстояние между двумя случайными точками в круге, то это был бы, наверное, полезный ход.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group