Задача про непрерывность

[Maxim19]

Здравствуйте! Помогите решить такую задачу:
даны два топологических пространства $\boldsymbol{X}$ и $\boldsymbol{Y}$ и отображение $\boldsymbol{f}$ слева направо, а $\boldsymbol{X}$ является объединением замкнутых множеств и каждое ограничение функции на такое множество непрерывно. Требуется доказать что и сама функция непрерывна. Никак не пойму где использовать замкнутость

-- 05.05.2024, 17:13 --

Естественно ограничение задаётся с индуцированной топологией

[dgwuqtj]

Так это неверно, любая функция $f \colon \mathbb R \to \mathbb R$ будет непрерывной после ограничения на одноэлементные подмножества. Надо потребовать, чтобы замкнутых множеств был конечный (или локально конечный) набор. По определению непрерывности не пробовали?

[Maxim19]

Совсем забыл, просто было лень переписывать с латехом, но из за этого потерял. Действительно там их конечное.

-- 05.05.2024, 18:00 --

dgwuqtj
Естественно пробовал, непонятно где замкнутость использовать

[dgwuqtj]

$f$ непрерывная, если прообразы замкнутых множеств замкнуты. Вот и показывайте, что подмножество замкнуто, если его пересечения с данными замкнутыми подмножествами замкнуты.

[Maxim19]

Не всегда замкнутый образ является объединением замкнутых множеств содержащихся в образах тех ограничений. То же самое и с прообразами

-- 05.05.2024, 18:39 --

То есть непонятно, как это рассуждение помогает в решении