Распределение случайной величины вида (Poisson|Exp)

[lantza]

Наткнулся на любопытную задачу:

Цитата:

Пусть случайная величина $X$ имеет показательное распределение с параметром $\lambda > 0$, а случайная величина $\mathbb{E}(Y|X)$ имеет распределение Пуассона с параметром $X$. Найти распределение случайной величины $Y$.

Как я понял по условию, задана случайная величина $Z = \mathbb{E}(Y|X)$ такая, что условная вероятность $P(Z=z|X=x) = \dfrac{e^{-x}x^z}{z!}$, где $z \in \{0, 1, 2, ...\}$.
Дальше по формуле полной вероятности можно посчитать маргинальное распределение случайной величины $Z$:
$P(Z=z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}P(Z=z|X=x)f_X(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac{e^{-x}x^z}{z!} \lambda e^{-\lambda x}I\{x \ge 0\}dx = \dfrac{\lambda}{z!} \int\limits_{0}^{\infty}x^z e^{-(\lambda + 1)x}dx \overset{t = (\lambda + 1)x}{=} \dfrac{\lambda}{z!(\lambda+1)^{z+1}} \int\limits_{0}^{\infty} t^{z}e^{-t}dt = \dfrac{\lambda}{z!(\lambda+1)^{z+1}} \Gamma(z+1) = \dfrac{\lambda}{z!(\lambda+1)^{z+1}} z! = \dfrac{\lambda}{(\lambda+1)^{z+1}}.

Таким образом, если я не соврал, случайная величина $Z = \mathbb{E}(Y|X)$ имеет отрицательное биномиальное распределение $\text{NB}(r=1, p=\dfrac{\lambda}{(\lambda+1)})$. Это все хорошо и прекрасно. А как теперь отсюда вычислять распределение случайной величины $Y$? Интуитивно мне кажется, что она дискретная, но даже из формулы $\mathbb{E}(Y|X=x) = \sum_{y=0}^{\infty}y P(Y=y | X=x)$ что-то попутного не могу вытащить -- нет информации о вероятности $P(Y=y | X=x)$.

[Евгений Машеров]

Вообще очень интересно. Матожидание принимает только целочисленные значения при любых значениях непрерывного параметра X. Совершенно не представляю, какая должна быть зависимость вероятностей от X, чтобы при изменениях X матожидание сохраняло целочисленность. Наивный вопрос - а там E не лишнее?

[Padawan]

lantza в сообщении #1637926 писал(а):

случайная величина $\mathbb{E}(Y|X)$ имеет распределение Пуассона с параметром $X$.

Действительно, присоединяюсь к Евгений Машеров. $\mathbb{E}(Y|X)$ -- это вполне определённая случайная величина с вполне определённым распределением (являющаяся функцией от $X$). Поэтому непонятно, что значит "имеет распределение Пуассона с параметром $X$"?

[Евгений Машеров]

А источник задачи можно?

[Евгений Машеров]

Padawan в сообщении #1637954 писал(а):

$\mathbb{E}(Y|X)$ -- это вполне определённая случайная величина

Я бы даже сказал - детерминированная величина, зависящая от X.

[Alex Krylov]

По определению $E(Y \mid X)=\int\limits_{}^{}yp(y\mid x)dy = f(x)$

И если условие задачи трактовать в том духе, что случайная величина $z$ является неким (в общем случае нелинейным) преобразованием $z=f(x)$ случайной величины $x$, имеющим по условию задачи распределение Пуассона с параметром, зависящим от $x$, т.е.: $\lambda \exp(-\lambda x)\overset{f(x)}{\to}\frac{\exp(-x) x^z}{z!}$, то приходим к противоречию, т.к. никакой зависисмости от $x$ не должно оставаться.

[lantza]

Евгений Машеров в сообщении #1637979 писал(а):

А источник задачи можно?

Коршунов Д. А., Фосс С. Г., Сборник задач и упражнений по теории вероятностей, 2-е изд. 2003, задача 26.27

[lantza]

С другой стороны, в целом можно дополнительно выяснить матожидание $Y$ исходной величины: она равна $\mathbb{E}(Y) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(Y|X)) = \dfrac{1}{\lambda}$

К слову, вышестоящая задачка 26.26 оттуда звучит так:

Цитата:

Пусть случайная величина $\xi$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$, а распределение случайной величины $\mathbb{E}(\eta|\xi)$ имеет нормальную плотность с нулевым средним значением и дисперсией $\xi$.
а) Найти характеристическую функцию случайной величины $\eta$.
б) Доказать, что распределение случайной величины $\eta$ не имеет плотности.
в) Доказать, что $\dfrac{\eta}{\sqrt{\lambda}}$ слабо сходится при $\lambda \to +\infty$ к стандартному нормальному закону.

С одной стороны мне тут кажется, что здесь дана подсказка к решению: надо глянуть характеристическую функцию. Но и тут я тоже не особо понимаю, как посчитать характеристическую функцию $\varphi_{\eta}(t)$, я только могу по определению посчитать $\varphi_{\mathbb{E}(\eta|\xi)}(t)=\mathbb {E} e^{it\mathbb{E}(\eta|\xi)}$.

[Евгений Машеров]

Определение из данного задачника. Возможно, тут надо поискать тонкости.

Цитата:

Пусть (Ω, F, P) — вероятностное пространство, ξ — случайная величина с конечным математическим ожиданием и A ⊆ F — некоторая σ-алгебра. Условным математическим ожиданием (условным средним значением) E{ξ|A } случайной величины ξ относительно σ-алгебры A называется A-измеримая случайная величина ζ такая, что E{ζ; A} = E{ξ; A} для любого A ∈ A.
Условным математическим ожиданием E{ξ|η} случайной величины ξ относительно случайной величины η называется E{ξ|σ(η)}, где σ(η) — σ-алгебра, порождённая случайной величиной η.

[Combat Zone]

Евгений Машеров в сообщении #1637940 писал(а):

Наивный вопрос - а там E не лишнее?

lantza, оно действительно лишнее.

Цитата:

Пусть случайная величина $X$ имеет показательное распределение с параметром $\lambda > 0$, а случайная величина $Y|X$ имеет распределение Пуассона с параметром $X$. Найти распределение случайной величины $Y$.

Скорее всего, формулировка выглядела так. И вы решали, кстати, именно эту задачу. С поправкой:

lantza в сообщении #1637926 писал(а):

что условная вероятность $P(Y=y|X=x) = \dfrac{e^{-x}x^y}{y!}$, где $y \in \{0, 1, 2, ...\}$.

Распределение Y вы, тем самым, нашли. Правильно, кстати. Пишите только, какие значения принимает с.в. Y.

[Alex Krylov]

Цитата:

величина $\mathbb{E}(Y|X)$ имеет распределение Пуассона с параметром $X$

Относительно того, что подразумевать под "распределением $\mathbb{E}(Y|X)$" вообще говоря возможны два варианта. Один из этих вариантов был отметен несколькими постами выше (ввиду того, что по условию задача это распределение зависит от $X$). Остается только вариант, когда под "распределенем условного среднего" подразумевается условное распределение $P(Y|X)$.

Как уже было сказано выше, условное среднее - это по сути детерминированная функция $z=f(X)$ случайной величины $X$ с единственным значением $z$ при каждом фиксированном значении $X=x$. А значит, условное распределение $P(Z\mid X)$ тривиально: $P(Z\mid X) = \delta(z-f(x))$.