Доказательство аналогично: индукцией по
доказываем существование единственной
. За счет единственности, в шаге индукции при построении
можно использовать конкретную
, и из неё строить
.
Я в общем так и делал, просто не очень понимаю при чем тут 3.5.12. Сбивает, что зачем-то автор ссылается на 3.5.12. Можно было просто сказать, что доказываем по индукции.
Мое доказательство следующее. Cначала по индукции докажем, что существует такая
. Для 0 значение этой функции определено, как
. По одной из аксиом Пеано не существует
такого, что
. Это значит, что ни одно
не переопределяет
и значение определено однозначно. Теперь предположим, что для
значение
определено однозначно. Докажем для
.
. По предположению индукции
определено однозначно, значит f(n, a(n)) тоже определено однозначно. По одной из аксиом Пеано
. То есть ни один
не переопределяет значение
и оно определено однозначно. Следовательно заключаем, что для всех натуральных чисел
функция
определена однозначно.
Вот тут непонятно, разве из существования не следует ее единственность. Ну типо возьмем 2 функции
и
, где
и
и
и
. Они же одинаковые с точностью до обозначения. Или этого мало?