В чём разница между "onto" и "one-to-one" преобразованиями

[Cynic]

Решил я изучать линейную алгебру и в качестве учебника выбрал "Linear Algebra - and Its Applications be David C. Lee". Выбрал именно американский учебник, потому что мне нужно будет потом читать американскую литературу и мне нужно знать американскую терминологию. Прочитав первую главу, выяснилось, что я не правильно понимаю американские термины "onto transformation" и "one-to-one transformation", из-за чего у меня даже возник "конфликт" на этом форуме с участником из Австралии. Чтобы разобраться с моим недопониманием, я и решил спросить своих соотечественников здесь, т.к. возможно дело просто в том, что я не правильно понимаю английские буквы.

Пусть x принадлежит множеству A, а y множеству B, где множества A и B это множества векторов некоторой размерности, тогда в моем понимании:

• Преобразование T(x)=y является "one-to-one", если каждому y соответствует один и только один x (используется термин "at most one").
• Преобразование T(x)=y является "onto", если каждому y соответствует хотя бы один x (используется термин "at least one").

Вопросы у меня следующие:

• Как в русской литературе по линейной алгебре называются "onto" и "one-to-one" преобразования?
• Почему австралиец настаивает, что трансформация с Identity matrix (у которой диагональ единицы, а все остальные элементы нули) является "onto", а не "one-to-one"?

[Dedekind]

Cynic в сообщении #1637797 писал(а):

Как в русской литературе по линейной алгебре называются "onto" и "one-to-one" преобразования?

Обычно сюръекция и инъекция соответственно.

Правда, "one-to-one" может означать и биекцию. То, что Вы тут написали:

Cynic в сообщении #1637797 писал(а):

Преобразование T(x)=y является "one-to-one", если каждому y соответствует один и только один x (используется термин "at most one").

- это как раз биекция.

[svv]

Англовики писал(а):

The term one-to-one correspondence must not be confused with one-to-one function.

one-to-one correspondence = bijection
one-to-one function = injection

[lazarius]

Cynic в сообщении #1637797 писал(а):

Преобразование T(x)=y является "one-to-one", если каждому y соответствует один и только один x (используется термин "at most one").

at most one - не больше одного, максимум один. То есть может быть и 0.

Мне странно что это называют one-to-one но видно придется смириться, их язык как хотят так и используют. Но это - injection.

Я не понял о чем там вопрос но onto - это surjection. И товарищ из Австралии утверждает что единичная матрица является сюръекцией. Тут он вроде абсолютно прав так как нас учили что биекция является и сюръекцией и инъекцией.

-- 02.05.2024, 22:09 --

Cynic в сообщении #1637797 писал(а):

Решил я изучать линейную алгебру и в качестве учебника выбрал "Linear Algebra - and Its Applications be David C. Lee". Выбрал именно американский учебник, потому что мне нужно будет потом читать американскую литературу и мне нужно знать американскую терминологию.

Там вроде David Lay:

https://www.amazon.com/dp/B01NH00CI7/
https://www.amazon.com/dp/1292351217/

Дорогая книжка, черт побери. Но я бы не зацикливался на разнице между британским и американским английским - the identity matrix она и в Африке единичная матрица.

[Cynic]

Ок, для ясности скопирую определения для "onto" и "one-to-one" преобразований из учебника:

• A mapping T: R^n $\to$ R^m is said to be one-to-one if each b in R^m is the image of at most one x in R^n
• A mapping T: R^n $\to$ R^m is said to be onto R^m if each b in R^m is the image of at least one x in R^n

Цитата:

at most one - не больше одного, максимум один. То есть может быть и 0

Похоже вы правы и собака была зарыта именно здесь, просто название преобразования "one-to-one" сбивает с толку.

Если брать это в расчет то получается, что преобразование является:

• One-to-one - если для каждого b в R^m есть не больше чем один x в R^n, т.е. соответствия между x и b может и не быть вообще
• Onto - если для каждого b в R^m есть хотя бы один x в R^n, т.е. соответствия между x и b всегда существует

Тогда действительно любое преобразование с единичной матрицей будет "onto" поскольку любому b в R^m всегда будет соответствовать некий x в R^n и не будет ситуации когда такого соответствия не будет.

[lazarius]

Cynic в сообщении #1637840 писал(а):

One-to-one - если для каждого b в R^m есть не больше чем один x в R^n, т.е. соответствия между x и b может и не быть вообще

Так и это injection:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%8A%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)

Cynic в сообщении #1637840 писал(а):

Onto - если для каждого b в R^m есть хотя бы один x в R^n, т.е. соответствия между x и b всегда существует

Так и это surjection:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%8E%D1%80%D1%8A%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F

Cynic в сообщении #1637840 писал(а):

Тогда действительно любое преобразование с единичной матрицей будет "onto" поскольку любому b в R^m всегда будет соответствовать некий x в R^n и не будет ситуации когда такого соответствия не будет.

Тут я воздержусь так как мне трудно представить единичную матрицу работающую между пространствами разной размерности и я не знаю что такое standard matrix и pivot.

Заметьте, у австралийца преобразование R^2 в R^2 и единичная матрица - тождественное преобразование, которое есть bijection.