Предел решения диффференциального уравнения

[vijosic656]

Дана система

$$\ddot x=-x-\frac{\dot x}{|\dot x|},\quad x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n,\quad |x|^2=\sum x_i^2$$

$x(t)$ -- решение, такое, что $\dot x(0)\ne 0$. Доказать, что
это решение определено на некотором интервале $[0,t^*)$, на котором $\dot x(t)\ne 0$ и
$\lim_{t\to t^*-}\dot x(t)=0$

[Null]

Можно домножить скалярно на $\dot x$ и получить$(|x|^2+|\dot x|^2)\dot{}=-|\dot x|$, откуда следует что $x$ - ограниченной вариации, а значит если он определен на $[0;T)$, то имеет предел при $t\to T$ даже при $T=+\infty$
Не получается доказать что он достигнет предела за конечное время.

[Geen]

Null в сообщении #1637519 писал(а):

Не получается доказать что он достигнет предела за конечное время.

Вроде бы, это же грузик на пружинке на поверхности с "сухим трением"?

[Red_Herring]

Geen в сообщении #1637520 писал(а):

Вроде бы, это же грузик на пружинке на поверхности с "сухим трением"?

Да, и поэтому он останавливается за конечное время..

Нарисуйте фазовый портрет в размеренности 1. Тогда вы увидите что (поскольку сила трения по модулю 1), то предельным значением может быть любое число из $[-1,1]$ (в многомерном случае--любая точка из единичного шара).

[drzewo]

Red_Herring в сообщении #1637527 писал(а):

Да, и поэтому он останавливается за конечное время..

Математическая модель может в любой момент перестать работать...

[sirvff]

ну так энергию напишите, она убывает по времени к 0 за конечное время соотв. и скорость

[drzewo]

sirvff в сообщении #1644960 писал(а):

ну так энергию напишите, она убывает по времени к 0 за конечное время соотв. и скорость

а почему энергия убывает за конечное время к нулю? Подробное доказательство, пожалуйста, приведите.

[vicvolf]

drzewo в сообщении #1645029 писал(а):

а почему энергия убывает за конечное время к нулю? Подробное доказательство, пожалуйста, приведите.

Это вопрос по физике, а это математический раздел.

[drzewo]

vicvolf в сообщении #1645104 писал(а):

Это вопрос по физике, а это математический раздел.

понятно, т.е. если я скажу, что уравненение $\ddot x+x=0$ имеет первый интеграл $\frac{1}{2}(\dot x^2+x^2)$ -- то это будет математическое утверждение, а если я скажу, что в гармоническом осилляторе сохраняется энергия -- то это уже физика. Да, смешно.