Предел решения диффференциального уравнения

[vijosic656]

Дана система

$$\ddot x=-x-\frac{\dot x}{|\dot x|},\quad x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n,\quad |x|^2=\sum x_i^2$$

$x(t)$ -- решение, такое, что $\dot x(0)\ne 0$. Доказать, что
это решение определено на некотором интервале $[0,t^*)$, на котором $\dot x(t)\ne 0$ и
$\lim_{t\to t^*-}\dot x(t)=0$

[Null]

Можно домножить скалярно на $\dot x$ и получить$(|x|^2+|\dot x|^2)\dot{}=-|\dot x|$, откуда следует что $x$ - ограниченной вариации, а значит если он определен на $[0;T)$, то имеет предел при $t\to T$ даже при $T=+\infty$
Не получается доказать что он достигнет предела за конечное время.

[Geen]

Null в сообщении #1637519 писал(а):

Не получается доказать что он достигнет предела за конечное время.

Вроде бы, это же грузик на пружинке на поверхности с "сухим трением"?

[Red_Herring]

Geen в сообщении #1637520 писал(а):

Вроде бы, это же грузик на пружинке на поверхности с "сухим трением"?

Да, и поэтому он останавливается за конечное время..

Нарисуйте фазовый портрет в размеренности 1. Тогда вы увидите что (поскольку сила трения по модулю 1), то предельным значением может быть любое число из $[-1,1]$ (в многомерном случае--любая точка из единичного шара).