Разложение перестановки в произведение двух циклов

[ohart]

Решаю задачи из задачника Белоногова по теории групп. Попалась такая:

Цитата:

Доказать, что каждая перестановка симметрической группы $S_n$ есть произведение двух циклов.

Не могу найти идею решения. Дайте легкую подсказку, если не сложно.

[mathematician123]

Любая перестановка представляется в виде произведения независимых циклов:

$$(a_1 \ldots a_n)(b_1 \ldots b_n)\ldots (c_1 \ldots c_n)$$

В качестве первого цикла возьмите

$$(a_1 \ldots a_n b_1 \ldots b_n \ldots c_1 \ldots c_n)$$

и подберите второй цикл.

[ohart]

Черт, гениально, все понял, спасибо!

mathematician123 в сообщении #1637467 писал(а):

Любая перестановка представляется в виде произведения независимых циклов:

$$(a_1 \ldots a_n)(b_1 \ldots b_n)\ldots (c_1 \ldots c_n)$$

В качестве первого цикла возьмите

$$(a_1 \ldots a_n b_1 \ldots b_n \ldots c_1 \ldots c_n)$$

и подберите второй цикл.

[EminentVictorians]

Хм.. а вот я не очень понял.

mathematician123, можете сказать, о какой перестановке (из скольки элементов) Вы говорите вот здесь:

mathematician123 в сообщении #1637467 писал(а):

Любая перестановка представляется в виде произведения независимых циклов:

$$(a_1 \ldots a_n)(b_1 \ldots b_n)\ldots (c_1 \ldots c_n)$$

Другими словами, Ваша перестановка - это элемент какого множества?

[ohart]

Там с индексами напутано, но сути не меняет

EminentVictorians в сообщении #1637469 писал(а):

Хм.. а вот я не очень понял.

mathematician123, можете сказать, о какой перестановке (из скольки элементов) Вы говорите вот здесь:

mathematician123 в сообщении #1637467 писал(а):

Любая перестановка представляется в виде произведения независимых циклов:

$$(a_1 \ldots a_n)(b_1 \ldots b_n)\ldots (c_1 \ldots c_n)$$

Другими словами, Ваша перестановка - это элемент какого множества?

[mathematician123]

EminentVictorians в сообщении #1637469 писал(а):

Другими словами, Ваша перестановка - это элемент какого множества?

Вот так правильно:

$$(a_1 \ldots a_{n_1})(b_1 \ldots b_{n_2}) \ldots (c_1 \ldots c_{n_k})$$

где $n_1 + \ldots + n_k = n$.

[EminentVictorians]

mathematician123 в сообщении #1637471 писал(а):

Вот так правильно:

$$(a_1 \ldots a_{n_1})(b_1 \ldots b_{n_2}) \ldots (c_1 \ldots c_{n_k})$$

где $n_1 + \ldots + n_k = n$.

А второй цикл будет $(a_1, c_1, ... , b_1)$?

[mathematician123]

EminentVictorians
Да.