Дифференцируемость в замкнутой области

[мат-ламер]

В одной из параллельных тем я натолкнулся на такое выражение - функция дифференцируема в замкнутой области. Что это вообще может означать? В популярных (доступных моему пониманию) учебниках анализа обычно выражаются такими словами. Допустим у нас есть функция, заданная в некоторой открытой ограниченной области. Пусть замыкание этой области есть некий компакт. И пусть есть некая открытая область, которая содержит этот компакт. Так мы можем рассматривать дифференцируемость функции в этой внешней области. И тут у меня второй вопрос. Это и есть дифференцируемость в замкнутой области? Или это есть более сильное определение, которое вводится в популярных учебниках для простоты доказательства теорем?

[Padawan]

Обычно говорят "непрерывно дифференцируема в замкнутой области". Это значит, что частные производные могут быть продолжены на замыкание области как непрерывные функции.

-- Чт апр 25, 2024 15:34:48 --

мат-ламер в сообщении #1637293 писал(а):

Допустим у нас есть функция, заданная в некоторой открытой ограниченной области. Пусть замыкание этой области есть некий компакт. И пусть есть некая открытая область, которая содержит этот компакт. Так мы можем рассматривать дифференцируемость функции в этой внешней области. И тут у меня второй вопрос. Это и есть дифференцируемость в замкнутой области?

Нет, такое условие вроде бы сильнее будет, чем продолжаемость частных производных по непрерывности на $\overline D$. Хотя для хороших областей одно и то же должно получиться.

[dgwuqtj]

Padawan в сообщении #1637299 писал(а):

Хотя для хороших областей одно и то же должно получиться.

Если область ограниченная, то есть достаточное условие в духе "существует константа $C > 0$ такая, что для всех $x, y \in \overline D$ найдётся спрямляемый путь длины $\leq C |x - y|$, соединяющий эти точки и лежащий в $D$, кроме своих концов". Например, если $\overline D$ является подмногообразием с липшицевым краем.

[Red_Herring]

Не стоит смешивать: принадлежность классу (в замкнутой области): $C^\alpha, W^{(l)}_p $ и т.д. , и продолжение с сохранением класса

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1637293 писал(а):

Допустим у нас есть функция, заданная в некоторой открытой ограниченной области. Пусть замыкание этой области есть некий компакт. И пусть есть некая открытая область, которая содержит этот компакт. Так мы можем рассматривать дифференцируемость функции в этой внешней области.

Чего-то я тут намудрил не подумав. Меня тут подвела аналогия с аналитическими функциями. Это слишком сильное условие. В каждой точке компакта функция должна быть дифференцируема. А вот во внешней области, ИМХО, хотя бы определена. Но определена именно так, чтобы быть дифференцируемой на компакте.

Padawan в сообщении #1637299 писал(а):

Обычно говорят "непрерывно дифференцируема в замкнутой области". Это значит, что частные производные могут быть продолжены на замыкание области как непрерывные функции.

Может это и так. Спорить не буду. Но как-то это кажется подозрительным. Надо будет обдумать.

[Red_Herring]

мат-ламер в сообщении #1637339 писал(а):

А вот во внешней области, ИМХО, хотя бы определена.

Это очень оригинальное определение.

[мат-ламер]

Red_Herring в сообщении #1637349 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1637339 писал(а):

А вот во внешней области, ИМХО, хотя бы определена.

Это очень оригинальное определение.

Согласен. Но хотелось бы приблизиться в своём понимании хотя-бы к Зоричу - т.2, пункт XIII.3.1 (формула Грина) - " $P,Q$ - функции гладкие в замкнутой (подразумевается в компактной) области $\overline{D}$ ". Наверное я что-то пропустил. Попробую полистать Зорича насчёт гладкости в компактной области. Определённо раннее он объясняет. что это такое.

[пианист]

мат-ламер в сообщении #1637361 писал(а):

хотелось бы приблизиться

Так а чего приближаться - пройтись по доказательству с карандашиком, найти место, где используется.

[Red_Herring]

мат-ламер в сообщении #1637361 писал(а):

Но хотелось бы приблизиться в своём понимании хотя-бы к Зоричу - т.2, пункт XIII.3.1 (формула Грина)

Это неоправданное ограничение, и поэтому в приличном строгом курсе УЧП эту формулу придется передоказывать, в предположении, что частные производные $P, Q$ принадлежат $L^1$ в области, и граница спрямляема, и тогда $P,Q$ принадлежат $L^1$ на границе.

В любом случае, стандартное определение класса функций $X$ в области / на многообразии не предполагает никакого знания о функции вне. Потом, конечно, можно определить класс функций $\tilde{X}$, продолжаемых из области / с многообразия как элемент $X$ с нормой $\|u\|_{\tilde{X}} = \inf _{\tilde{u}}\|u\|_X $, где инфимум берется по всем продолжениям, доказывать теоремы вложения и продолжения , но это потом.

[мат-ламер]

Red_Herring в сообщении #1637369 писал(а):

Это неоправданное ограничение,

Дальше у Зорича в конце главы есть упражнение 2, из которого следует, что условия действительно можно ослабить. Я так понял, что и в учебнике Камынина (т.2, п.6.2.2) также условия ослаблены. Но я тот текст не разбирал.

Red_Herring в сообщении #1637369 писал(а):

В любом случае, стандартное определение класса функций $X$ в области / на многообразии не предполагает никакого знания о функции вне.

Вот смотрю учебник Решетняка (т.2.2, п.15.3.1), так он вроде предполагает. Хотя может я не так его пока понял. В любом случае мне надо некоторое время, чтобы разобраться с ручкой в руке (как тут советовали), что из чего следует.