Но хотелось бы приблизиться в своём понимании хотя-бы к Зоричу - т.2, пункт XIII.3.1 (формула Грина)
Это неоправданное ограничение, и поэтому в приличном строгом курсе УЧП эту формулу придется передоказывать, в предположении, что частные производные
принадлежат
в области, и граница спрямляема, и тогда
принадлежат
на границе.
В любом случае, стандартное определение класса функций
в области / на многообразии не предполагает никакого знания о функции вне. Потом, конечно, можно определить класс функций
, продолжаемых из области / с многообразия как элемент
с нормой
, где инфимум берется по всем продолжениям, доказывать теоремы вложения и продолжения , но это
потом.