2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференцируемость в замкнутой области
Сообщение25.04.2024, 11:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
В одной из параллельных тем я натолкнулся на такое выражение - функция дифференцируема в замкнутой области. Что это вообще может означать? В популярных (доступных моему пониманию) учебниках анализа обычно выражаются такими словами. Допустим у нас есть функция, заданная в некоторой открытой ограниченной области. Пусть замыкание этой области есть некий компакт. И пусть есть некая открытая область, которая содержит этот компакт. Так мы можем рассматривать дифференцируемость функции в этой внешней области. И тут у меня второй вопрос. Это и есть дифференцируемость в замкнутой области? Или это есть более сильное определение, которое вводится в популярных учебниках для простоты доказательства теорем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость в замкнутой области
Сообщение25.04.2024, 13:30 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Обычно говорят "непрерывно дифференцируема в замкнутой области". Это значит, что частные производные могут быть продолжены на замыкание области как непрерывные функции.

-- Чт апр 25, 2024 15:34:48 --

мат-ламер в сообщении #1637293 писал(а):
Допустим у нас есть функция, заданная в некоторой открытой ограниченной области. Пусть замыкание этой области есть некий компакт. И пусть есть некая открытая область, которая содержит этот компакт. Так мы можем рассматривать дифференцируемость функции в этой внешней области. И тут у меня второй вопрос. Это и есть дифференцируемость в замкнутой области?

Нет, такое условие вроде бы сильнее будет, чем продолжаемость частных производных по непрерывности на $\overline D$. Хотя для хороших областей одно и то же должно получиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость в замкнутой области
Сообщение25.04.2024, 13:51 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Padawan в сообщении #1637299 писал(а):
Хотя для хороших областей одно и то же должно получиться.

Если область ограниченная, то есть достаточное условие в духе "существует константа $C > 0$ такая, что для всех $x, y \in \overline D$ найдётся спрямляемый путь длины $\leq C |x - y|$, соединяющий эти точки и лежащий в $D$, кроме своих концов". Например, если $\overline D$ является подмногообразием с липшицевым краем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость в замкнутой области
Сообщение25.04.2024, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Не стоит смешивать: принадлежность классу (в замкнутой области): $C^\alpha, W^{(l)}_p $ и т.д. , и продолжение с сохранением класса

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость в замкнутой области
Сообщение25.04.2024, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
мат-ламер в сообщении #1637293 писал(а):
Допустим у нас есть функция, заданная в некоторой открытой ограниченной области. Пусть замыкание этой области есть некий компакт. И пусть есть некая открытая область, которая содержит этот компакт. Так мы можем рассматривать дифференцируемость функции в этой внешней области.

Чего-то я тут намудрил не подумав. Меня тут подвела аналогия с аналитическими функциями. Это слишком сильное условие. В каждой точке компакта функция должна быть дифференцируема. А вот во внешней области, ИМХО, хотя бы определена. Но определена именно так, чтобы быть дифференцируемой на компакте.
Padawan в сообщении #1637299 писал(а):
Обычно говорят "непрерывно дифференцируема в замкнутой области". Это значит, что частные производные могут быть продолжены на замыкание области как непрерывные функции.

Может это и так. Спорить не буду. Но как-то это кажется подозрительным. Надо будет обдумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость в замкнутой области
Сообщение25.04.2024, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
мат-ламер в сообщении #1637339 писал(а):
А вот во внешней области, ИМХО, хотя бы определена.
Это очень оригинальное определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость в замкнутой области
Сообщение26.04.2024, 07:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Red_Herring в сообщении #1637349 писал(а):
мат-ламер в сообщении #1637339 писал(а):
А вот во внешней области, ИМХО, хотя бы определена.
Это очень оригинальное определение.

Согласен. Но хотелось бы приблизиться в своём понимании хотя-бы к Зоричу - т.2, пункт XIII.3.1 (формула Грина) - " $P,Q$ - функции гладкие в замкнутой (подразумевается в компактной) области $\overline{D}$ ". Наверное я что-то пропустил. Попробую полистать Зорича насчёт гладкости в компактной области. Определённо раннее он объясняет. что это такое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость в замкнутой области
Сообщение26.04.2024, 10:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2316
МО
мат-ламер в сообщении #1637361 писал(а):
хотелось бы приблизиться

Так а чего приближаться - пройтись по доказательству с карандашиком, найти место, где используется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость в замкнутой области
Сообщение26.04.2024, 12:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
мат-ламер в сообщении #1637361 писал(а):
Но хотелось бы приблизиться в своём понимании хотя-бы к Зоричу - т.2, пункт XIII.3.1 (формула Грина)
Это неоправданное ограничение, и поэтому в приличном строгом курсе УЧП эту формулу придется передоказывать, в предположении, что частные производные $P, Q$ принадлежат $L^1$ в области, и граница спрямляема, и тогда $P,Q$ принадлежат $L^1$ на границе.

В любом случае, стандартное определение класса функций $X$ в области / на многообразии не предполагает никакого знания о функции вне. Потом, конечно, можно определить класс функций $\tilde{X}$, продолжаемых из области / с многообразия как элемент $X$ с нормой $\|u\|_{\tilde{X}} = \inf _{\tilde{u}}\|u\|_X $, где инфимум берется по всем продолжениям, доказывать теоремы вложения и продолжения , но это потом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость в замкнутой области
Сообщение26.04.2024, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Red_Herring в сообщении #1637369 писал(а):
Это неоправданное ограничение,

Дальше у Зорича в конце главы есть упражнение 2, из которого следует, что условия действительно можно ослабить. Я так понял, что и в учебнике Камынина (т.2, п.6.2.2) также условия ослаблены. Но я тот текст не разбирал.
Red_Herring в сообщении #1637369 писал(а):
В любом случае, стандартное определение класса функций $X$ в области / на многообразии не предполагает никакого знания о функции вне.

Вот смотрю учебник Решетняка (т.2.2, п.15.3.1), так он вроде предполагает. Хотя может я не так его пока понял. В любом случае мне надо некоторое время, чтобы разобраться с ручкой в руке (как тут советовали), что из чего следует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group