Тригонометрическое уравнение ЕГЭ

[LILILILILI]

Доброго времени суток! Во время подготовки к ЕГЭ столкнулся с уравнением, в котором появился вопрос по поводу правильного ответа: $$

$$(1-\tg^2 x) (\sqrt {8 \sin x}) = 0$$

Так как в данном случае рассматриваются числа из множества действительных чисел $\mathbb R$, вводим ограничения, из-за которых синус может принимать только неотрицательные значения.
Решением первого множителя служат корни: $$

$$x = \frac \pi 4 + \frac {\pi n}{2}~~, n \in \mathbb Z ~~~~~~(1)$$

Из-за введеных ранее ограничений для синуса, нижние четверти не рассматриваются, то есть решением уравнения становятся корни: $$

$$x = \frac \pi 4 + \frac {\pi m}{2} + 2 \pi k~~, m,k \in \mathbb Z ; m \in \{0, 1\} ~~~~~~(2)$$

В ответ пойдут эти корни и корни, полученные из второго множителя. Но не будет ли в данном случае равносилен переход (пример для корня x = $-\frac \pi 4$):
$$

$$0 \cdot {\sqrt{ 8 \sin{(-\frac \pi 4)}}} = \sqrt 0 \cdot {\sqrt{ 8 \sin{(-\frac \pi 4)}}} = {\sqrt {0 \cdot { 8 \sin{(-\frac \pi 4)}}}} = \sqrt0 = 0 ~~~~~~(3)$$

То есть без извлечения корня из отрицательного числа.

Является ли преобразование (3) верным? Если да, то получается ли так, что счет и дальше ведется в множестве $\mathbb R$ (если так можно выразиться)? Означает ли это, что решение (1) будет является верным и ограничение на него накладывать не надо? Если (3) верно и счет ведется в множестве $\mathbb R$, какая из серий (1) или (2) пойдет в ответ в ЕГЭ и как правильно обосновать ответ?

[EUgeneUS]

ИМХО, в рамках ЕГЭ правильный ход такой:

1. Определить ОДЗ.
2. Искать корни в ОДЗ.

Тогда (3) некорректно.

В (3) делается такое: если умножить некое комплексное число на ноль, то получим ноль. Но у нас "нет" комплексных чисел.

А если чего-то расширять. То не ясно как: нужно ли рассматривать выражение слева как комлекснозначную функцию комплексного переменного? А может лучше как комлекснозначную функцию действительного переменного?
И набор корней может оказаться сильно разным....

Но специалисты в ЕГЭ, видимо, смогут более точно ответить.

-- 24.04.2024, 22:25 --

LILILILILI в сообщении #1637251 писал(а):

какая из серий (1) или (2) пойдет в ответ в ЕГЭ

Кстати, ни одна из этих двух. В ответе нужно ещё добавить корни $\sin x = 0$

[LILILILILI]

EUgeneUS в сообщении #1637253 писал(а):

В (3) делается такое: если умножить некое комплексное число на ноль, то получим ноль. Но у нас "нет" комплексных чисел.

Объясните пожалуйста, почему это будет считаться умножением на комплексное число, если мы не вычисляем корень из отрицательно числа, а просто загоняем ноль под корень и после перемножения чисел под корнем получаем ноль?

EUgeneUS в сообщении #1637253 писал(а):

Кстати, ни одна из этих двух. В ответе нужно ещё добавить корни $\sin x = 0$

Я понимаю, в данном случае рассматривал именно вопрос, связанный с ответами для тангенса и ограничениями

[wrest]

LILILILILI в сообщении #1637255 писал(а):

Объясните пожалуйста, почему это будет считаться умножением на комплексное число, если мы не вычисляем корень из отрицательно числа, а просто загоняем ноль под корень и после перемножения чисел под корнем получаем ноль?

Левая часть уравнения не определена для отрицательных синусов.

[Dedekind]

Вот это

LILILILILI в сообщении #1637255 писал(а):

загоняем ноль под корень

следует из свойств степени. Но, поскольку эти свойства для степени 1/2 были определены только для неотрицательных оснований - то использовать их для отрицательного синуса - неправомерно (до введения комплексных чисел).

[Mikhail_K]

LILILILILI в сообщении #1637255 писал(а):

а просто загоняем ноль под корень

Не всегда можно "загонять что-то под корень". Равенство $\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ справедливо только в случае, когда $x$ и $y$ оба неотрицательны. Потому что в противном случае левая часть равенства не определена и не может быть равна ничему, в т.ч. правой части.

Несуществующее число нельзя ни на что умножать, даже на $0$.

[LILILILILI]

Правильно ли я понимаю, что само выражение

$$\sqrt {-n}~~, n \in \mathbb N$$

Вообще не имеет смысла, является неверным и т.п., когда мы рассматриваем множество $\mathbb R$, и действия с неотрицательными рациональными числами, которые возводятся в дробную степень, не могут быть выполнены для отрицательных чисел, которые возводятся в такую же дробную степень; а для того, чтобы была возможность работать с отрицательными основаниями, нужно вводить комплексные числа и пользоваться свойствами именно комплексных чисел?

[wrest]

LILILILILI в сообщении #1637260 писал(а):

неотрицательными рациональными числами, которые возводятся в дробную степень, не могут быть выполнены для отрицательных чисел,

Ну вроде с кубическими (и вообще натуральными нечётными) корнями всё неплохо - можно извлекать.
То есть в ЕГЭ уравнение $(1-\tg^2 x) (\sqrt[3] {8 \sin x}) = 0$ наверное имело бы решения и для отрицательных синусов.
А квадратные корни - нет, для отрицательных подкоренных выражений не определены.

Ещё хочу обратить ваше внимание что корень и дробная степень это не одно и тоже, т.е. записи $x^{1/3}$ и $\sqrt[3]{x}$ вообще говоря не эквивалентны.

[LILILILILI]

Благодарю за ответы, теперь понимаю данный момент!

[MGM]

wrest в сообщении #1637261 писал(а):

LILILILILI в сообщении #1637260 писал(а):

неотрицательными рациональными числами, которые возводятся в дробную степень, не могут быть выполнены для отрицательных чисел,

Ну вроде с кубическими (и вообще натуральными нечётными) корнями всё неплохо - можно извлекать.
То есть в ЕГЭ уравнение $(1-\tg^2 x) (\sqrt[3] {8 \sin x}) = 0$ наверное имело бы решения и для отрицательных синусов.
А квадратные корни - нет, для отрицательных подкоренных выражений не определены.

Ещё хочу обратить ваше внимание что корень и дробная степень это не одно и тоже, т.е. записи $x^{1/3}$ и $\sqrt[3]{x}$ вообще говоря не эквивалентны.

Методологически это ошибка. Так как у дробных степеней есть и комплексные значения. Поэтому принадлежность к реальным числам должна быть определена в условии задачи. Как часть ОДЗ. Иначе получается некий математический апокриф.

[Mikhail_K]

MGM в сообщении #1637443 писал(а):

Так как у дробных степеней есть и комплексные значения.

Степень в любых школьных задачах - это по умолчанию либо степень с целым показателем, либо вещественная степень неотрицательного числа с вещественным показателем. Даже если комплексные числа есть в школьной программе, их использование должно специально оговариваться.

По-хорошему, это актуально не только в школе, но и везде. Если я вижу выражение $8^{1/3}$, то я буду думать, что имеется в виду $2$, а не какое-то комплексное число или тем более набор из трёх комплексных чисел - если это специально не оговорено.

Вообще, комплексная степень - не такое уж важное понятие. Можно обойтись понятиями натуральной степени комплексного числа, (многозначного) корня натуральной степени из комплексного числа и комплексной экспоненты. А в дробные степени разрешить возводить только неотрицательные вещественные числа, с вещественным же результатом.