Теорема Ирншоу и равновесие зарядов на поверхности проводник

[reterty]

Теорема Эрншоу утверждает, что совокупность точечных зарядов не может поддерживаться в стабильной стационарной равновесной конфигурации исключительно за счет электростатического взаимодействия зарядов. В тоже время, статическое распределение зарядов на поверхности проводника всегда считается равновесным (вспомнить хотя бы знаменитую задачу Томсона). Очевидно, что здесь все дело в поверхностном constraint.....

[EUgeneUS]

А обсудить-то что предлагается?

[reterty]

EUgeneUS в сообщении #1637105 писал(а):

А обсудить-то что предлагается?

кажущееся противоречие...

[EUgeneUS]

А в чем противоречие? Хоть и кажущееся.

[reterty]

EUgeneUS в сообщении #1637107 писал(а):

А в чем противоречие? Хоть и кажущееся.

Хотелось бы, чтобы подключились мэтры в области уравнений мат. физики и пояснили, почему введение граничных условий в уравнение Лапласа (Пуассона) неизбежно влечет за собою существование глобального экстремума для скалярного потенциального поля.

[мат-ламер]

reterty в сообщении #1637108 писал(а):

почему введение граничных условий в уравнение Лапласа (Пуассона) неизбежно влечет за собою существование глобального экстремума для скалярного потенциального поля.

reterty Вы в последних постах занимались проблемой минимизации энергии электрического поля. Может с этой точки зрения посмотреть на проблему?

reterty в сообщении #1637104 писал(а):

Очевидно, что здесь все дело в поверхностном constraint.....

Можно добавить, что функция на компакте всегда достигает минимума. А минимизируемая функция вогнута (т.е. выпукла вверх). У неё без ограничений минимум не может достигаться. А с ограничениями, почему нет?

-- Пн апр 22, 2024 22:33:06 --

(Оффтоп)

reterty в сообщении #1637108 писал(а):

Хотелось бы, чтобы подключились мэтры в области уравнений мат. физики

Извиняюсь, не заметил

[Утундрий]

Противоречие, стало быть в том, что не подключаются мэтры. Я бы проверил наличие тока в цепи. Или, быть может, переходник не тот?

[svv]

reterty в сообщении #1637108 писал(а):

почему введение граничных условий в уравнение Лапласа (Пуассона) неизбежно влечет за собою существование глобального экстремума для скалярного потенциального поля.

Уточните, пожалуйста.
1) Вы говорите о дискретном распределении заряда, или о непрерывном?
2) Глобальный экстремум какой величины — электростатического потенциала? энергии?

[reterty]

svv в сообщении #1637133 писал(а):

reterty в сообщении #1637108 писал(а):

почему введение граничных условий в уравнение Лапласа (Пуассона) неизбежно влечет за собою существование глобального экстремума для скалярного потенциального поля.

Уточните, пожалуйста.
1) Вы говорите о дискретном распределении заряда, или о непрерывном?
2) Глобальный экстремум какой величины — электростатического потенциала? энергии?

1) На поверхности проводника обычно подразумевают некое непрерывное распределение заряда с некоторой (в общем случае переменной) поверхностной плотностью. В то же время на сфере Томсона устойчивой равновесной конфигурации достигает некоторое финитное число точечных (дискретных) зарядов. Поэтому всегда думалось что это непринципиально.
2) Речь идет об экстремуме потенциала.

[svv]

Рассматриваем конечную связную область и устойчиво равновесные конфигурации зарядов, ограниченных этой областью.
В непрерывном случае задаём суммарный заряд $q$, в дискретном — число точечных зарядов и величину каждого $q_i$.

И в дискретном, и в непрерывном случае равновесная конфигурация соответствует минимуму энергии. При этом заряды расположатся на границе области. А дальше — различия:
$\bullet$ В непрерывном случае заряды распределятся по границе так, что во всей области, включая границу, потенциал будет постоянный. В дискретном — нет.
$\bullet$ Как следствие, в непрерывном случае поле внутри области равно нулю, а на границе будет иметь лишь нормальную компоненту. В дискретном — нет.
$\bullet$ В непрерывном случае равновесная конфигурация (распределение поверхностной плотности) единственна, так что минимум энергии один и глобальный (сможете доказать?). В дискретном случае может быть много локальных минимумов: возьмите два точечных заряда $q_1=q_2=1$, ограниченных тетраэдром. Если взять близкий к правильному, но не совсем правильный тетраэдр, уровни энергии, соответствующие разным равновесным конфигурациям, будут различными.

reterty в сообщении #1637135 писал(а):

2) Речь идет об экстремуме потенциала.

Поясните подробнее, пожалуйста, туплю.

[reterty]

svv в сообщении #1637147 писал(а):

Поясните подробнее, пожалуйста, туплю.

Теорема Ирншоу это по сути пересказанная одна из теорем о гармонической функции (то есть об отсутствии экстремума для такой функции), которая утверждает что гармоническая функция (в нашем случае потенциал) не может достигать экстремума в области где она определена. Это утверждение эквивалентно тому что любая система электрических зарядов не имеет устойчивой конфигурации. Но заряды, распределенные на поверхности проводника вполне себе находятся в состоянии устойчивого равновесия..... неужто тут все дело в наличии поверхностного констрейнта на движения зарядов?

[reterty]

Вроде бы разобрался. Теорема Ирншоу работает лишь для электростатических сил. В случае зарядов на поверхности проводника при попытке зарядов "слететь" с этой поверхности и "уйти в бесконечность" возникнут возвращающие сторонние силы электрического изображения которые и поддерживают устойчивость равновесной конфигурации зарядов на проводнике.

[EUgeneUS]

reterty в сообщении #1637247 писал(а):

Теорема Ирншоу работает лишь для электростатических сил.

Собственно, на это сразу намекали.

reterty в сообщении #1637247 писал(а):

В случае зарядов на поверхности проводника при попытке зарядов "слететь" с этой поверхности и "уйти в бесконечность" возникнут возвращающие сторонние силы электрического изображения которые и поддерживают устойчивость равновесной конфигурации зарядов на проводнике.

Не считается. Ибо "силы электрического изображения" - это следствие, а не причина того, что заряды не могут покинуть поверхность.

-- 24.04.2024, 22:09 --

Вообще-то, согласно теореме Ирншоу весь мир должен превратиться в труху за очень короткое время.
На осмысление этого факта физикам потребовалось примерно 50 лет.

Физики пытались спасти мир разными костыликами в виде "модели пудинга", а потом планетарной модели атома Резерфорда. Когда стало ясно, что эти костылики не помогают, получилась квантовая механика и далее - КЭД.

И это просто счастье какое-то, что теорема Ирншоу не имеет квантового аналога.

К чему это? А к тому, что оставаясь в рамках классической электродинамики и не привлекая силы не электростатической природы (квантовые эффекты, в виде работы выхода, например, относятся к таковым), получить устойчивую статическую систему зарядов невозможно никакими измышлениями.

[wrest]

reterty в сообщении #1637247 писал(а):

Теорема Ирншоу работает лишь для электростатических сил.

Обобщим. Для любых статических сил точечных зарядов где справедлива теорема Гаусса. Т.е. электростатика + постоянные магниты + гравитация + эти же внешние (ессно потенциальные) поля = равновесие неустойчиво.

[EUgeneUS]

wrest
Вы, конечно, правы.
Но в предложенном ТС варианте есть только электростатика (и силы, где теорема Гаусса не справедлива - они и удерживают заряды на поверхности проводника).